En probabilitat i estadística, una funció de distribució de contacte esfèric, una funció de distribució de primer contacteD. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995. o una funció d'espai buitA. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13--18, 2004, pages 1--75, 2007. és una funció matemàtica que es defineix en relació amb objectes matemàtics coneguts com a processos puntuals, que són tipus de processos estocàstics que sovint s'utilitzen com a models matemàtics de fenòmens físics representables com a punts posicionats aleatòriament en el temps, l'espai o tots dos.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003. Més concretament, una funció de distribució de contacte esfèric es defineix com la distribució de probabilitat del radi d'una esfera quan es troba o fa contacte amb un punt en un procés puntual. Aquesta funció es pot contrastar amb la funció del veí més proper, que es defineix en relació amb algun punt del procés puntual com la distribució de probabilitat de la distància des d'aquest punt fins al seu punt veí més proper en el mateix procés puntual.

La funció de contacte esfèric també es coneix com a funció de distribució de contacte,A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13--18, 2004, pages 1--75, 2007. però alguns autorsD. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995. defineixen la funció de distribució de contacte en relació amb un conjunt més general, i no simplement una esfera com en el cas de la funció de distribució de contacte esfèric.

Les funcions de distribució de contacte esfèric s'utilitzen en l'estudi de processos puntuals,A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13--18, 2004, pages 1--75, 2007.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. {II}. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2008. així com en els camps relacionats de la geometria estocàsticaD. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995. i l'estadística espacial,J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003. que s'apliquen en diverses disciplines científiques i d'enginyeria com ara la biologia, la geologia, la física i les telecomunicacions.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II – Applications, volume 4, No 1-2 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.

Notació de processos puntuals Els processos puntuals són objectes matemàtics que es defineixen en algun espai matemàtic subjacent. Com que aquests processos s'utilitzen sovint per representar col·leccions de punts dispersos aleatòriament en l'espai, el temps o ambdós, l'espai subjacent sol ser un espai euclidià d-dimensional, denotat aquí per , però es poden definir en espais matemàtics més abstractes.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. {II}. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2008.

Els processos puntuals tenen diverses interpretacions, la qual cosa es reflecteix en els diversos tipus de notació de processos puntuals.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II – Applications, volume 4, No 1-2 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009. Per exemple, si un punt pertany o és membre d'un procés puntual, denotat per , aleshores això es pot escriure com:

i representa el procés puntual que s'interpreta com un conjunt aleatori. Alternativament, el nombre de punts de situat en algun conjunt de Borel sovint s'escriu com:D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995.J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.

que reflecteix una interpretació de mesures aleatòries per a processos puntuals. Aquestes dues notacions sovint s'utilitzen en paral·lel o indistintament.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995.J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.

Definicions Funció de distribució de contacte esfèric La funció de distribució de contacte esfèric es defineix com:

on b(o,r) és una bola amb radi r centrada a l'origen o. En altres paraules, la funció de distribució de contacte esfèric és la probabilitat que no hi hagi punts del procés puntual situats en una hiperesfera de radi r.

Funció de distribució de contactes La funció de distribució de contacte esfèric es pot generalitzar per a conjunts diferents de la (hiper)esfera a Per a alguns conjunts de Borel amb volum positiu (o més concretament, mesura de Lebesgue), la funció de distribució de contacte ( respecte a ) per a es defineix per l'equació:D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995.

Exemples Procés del punt de Poisson Per a un procés puntual de Poisson en amb mesura d'intensitat això esdevé

que per al cas homogeni esdevé

on denota el volum (o més concretament, la mesura de Lebesgue) de la bola de radi A l'avió , aquesta expressió es simplifica a

Relació amb altres funcions Funció del veí més proper En general, la funció de distribució de contacte esfèric i la funció del veí més proper corresponent no són iguals. Tanmateix, aquestes dues funcions són idèntiques per als processos puntuals de Poisson.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995. De fet, aquesta característica es deu a una propietat única dels processos de Poisson i les seves distribucions de Palm, que forma part del resultat conegut com a teorema de Slivnyak-MeckeF. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009. o teorema de Slivnyak.A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13--18, 2004, pages 1--75, 2007.

Funció J El fet que la funció de distribució esfèrica i la funció del veí més proper siguin idèntiques per al procés de punts de Poisson es pot utilitzar per comprovar estadísticament si les dades del procés de punts semblen ser les d'un procés de punts de Poisson. Per exemple, en estadística espacial, la funció es defineix per a tot  ≥ 0 com a:D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995.

Per a un procés puntual de Poisson, la funció és simplement = 1, per això s'utilitza com a prova no paramètrica per saber si les dades es comporten com si fossin d'un procés de Poisson. Tanmateix, es creu que és possible construir processos puntuals que no siguin de Poisson per als quals = 1, però alguns consideren aquests contraexemples com a "artificials" i existeixen per a altres proves estadístiques.

Més generalment, la funció serveix com una manera (altres inclouen l'ús de mesures de moment factorial)A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13--18, 2004, pages 1--75, 2007. de mesurar la interacció entre punts en un procés puntual.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, edition 2. Wiley Chichester, 1995.

Referències

Categoria:Estadística Categoria:Probabilitat