Umocňování je matematická operace, která vychází z opakovaného násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:
V tomto vzorci se označuje jako základ mocniny (mocněnec) a se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „-tá mocnina čísla “, „ na -tou“. Například je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 3. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz #Definice).
Speciálním případem prázdného součinu je = 1 (pro ≠ 0, jinak viz #Nula na nultou). Pro nulový základ a kladný exponent ( > 0) pak platí 0 = 0.
Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n.
Pomocí umocňování je definováno několik základních funkcí a posloupností: Mocninná funkce , exponenciální funkce , geometrická posloupnost a funkce .
Inverzní operace k umocňování je odmocňování. Opakované umocňování je tetrace.
Definice Mocnina s přirozeným exponentem () se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:
Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu () tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty ():
Definici lze dále zobecnit pro racionální exponent s využitím odmocňování:
Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity:
Pro mocniny s komplexním základem , kde a
Argument má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla z intervalu nebo . Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně mnohoznačná funkce a není na celé komplexní rovině holomorfní.
Pokud je navíc komplexním číslem i exponent , pak je mocnina dána jako
Alternativní definice Užitečná definice z oblasti teorie množin říká, že pro množiny je čili množina všech zobrazení množiny do množiny , tedy takových zobrazení, která každému prvku z přiřazují právě jeden prvek z . Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je , přičemž klademe 00 = 1 (viz #Nula na nultou). Příklad:
Mocninu s nezáporným celým základem i exponentem () lze také vyjádřit jako počet všech uspořádaných jejichž složky jsou ze množiny. Toto vyjádření je velmi podobné předchozí definici, protože zobrazení množiny lze zapsat jako uspořádanou Příklad:
Vlastnosti Pro reálná nebo komplexní čísla platí následující vztahy (jsou-li výrazy na obou stranách definované): za podmínky, že je celé číslo nebo , tedy že se neprojeví skok argumentu za podmínky, že je celé číslo nebo
za podmínky, že je celé číslo nebo pro (pro 00 viz níže)
Umocňování není obecně komutativní (2 ≠ 3) ani asociativní: (2) ≠ 2.
Mocniny nuly Nula umocněná na kladné číslo je nula, tedy pro x > 0 je 0x = 0.
Naproti tomu nula umocněná na záporné číslo není definována, protože takový výraz vede na dělení nulou, které není na množině reálných ani komplexních čísel definováno: Pro > 0 je
Nula na nultou Zcela obecně není výraz 00 definován. Limita mocniny, jejíž základ i exponent konvergují k nule, je totiž tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba znát vztah mezi základem a exponentem. Na výraz 00 se tedy lze dívat dvěma základními způsoby. První pohled na něj hledí jako na limitu funkce x0, která je všude kromě nuly rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 00 = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 00 = 0.
V běžných situacích se používá hlavně první definice (00 = 1),Všechny následující výpočetní prostředky poskytují výsledek 0 = 1: Vyhledávač Google, Kalkulačka ve Windows 7, funkce pow jazyka C++, metoda System.Math.Pow z MS .NET Framework. která je vyžadována pro jednoduchý zápis mnoha vzorců: Aby při zápisu polynomu ve tvaru platilo , musí být 00 = 1. Podobný zápis se používá také pro mocninnou řadu. Obecná platnost binomické věty vyžaduje 00 = 1. Existuje právě jedno zobrazení prázdné množiny do prázdné množiny, a to prázdné zobrazení (viz #Alternativní definice). Pravidlo pro derivování mocninné funkce platí pro = 1 v bodě = 0 jen tehdy, když 0 = 1. Jindy je 00 ponecháno nedefinované.WolframAlpha
Zvláštní mocniny V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000…). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.
Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a2), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a2).
Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)
V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.
Reference
Související články Odmocnina Logaritmus Mocninná funkce Exponenciální funkce Geometrická řada Kořen (matematika)
Externí odkazy
Kategorie:Aritmetika Kategorie:Binární operace Kategorie:Binární operátory