Mersennovo prvočíslo je takové prvočíslo, které je o jedna menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. je tvaru .

Obecněji všechna čísla v takovém tvaru, bez ohledu na jejich prvočíselnost, se označují jako Mersennova čísla.

Příkladem Mersennova prvočísla je 7 = 23 − 1. Naproti tomu například Mersennovo číslo 24 − 1 = 15 není prvočíslem (je to složené číslo, 15 = 3 · 5).

Vlastnosti Lze snadno ukázat, že pokud má být číslo 2n − 1 prvočíslem, musí být prvočíslem i exponent n: , opak ovšem neplatí: číslo 2p − 1 může být složené i pro prvočíselný exponent p (např. 211 − 1 = 23 · 89).

Mersennova prvočísla mají těsný vztah s dokonalými čísly (čísla, která jsou rovná součtu svých vlastních dělitelů), tento fakt byl také prvotním důvodem pro studium tohoto druhu prvočísel. Už ve 4. století př. n. l. Eukleidés dokázal, že pokud M je Mersennovo prvočíslo, pak M(M+1)/2 je dokonalé číslo. V 18. století pak dokázal Euler, že takovou formu mají všechna sudá dokonalá čísla. (Nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla a předpokládá se, že žádná neexistují.)

Každé Mersennovo prvočíslo je v dvojkové soustavě vyjádřeno nepřerušeným počtem jedniček o délce rovné exponentu (např. číslo je rovno neboli sedmi).

Tato skutečnost vychází z vlastnosti poziční dvojkové soustavy, ve které je číslo o -bitech (jenom jedniček) rovné součtu prvních členů geometrické řady s kvocientem .

V současné době není známo, zda je Mersennových prvočísel nekonečně mnoho.

je sumou kombinačních čísel: .

Historie Tato čísla jsou pojmenována po francouzském matematikovi Marinu Mersennovi (1588–1648), který sestavil seznam takových prvočísel s exponenty do 257; jeho seznam však obsahoval chyby: nesprávně zahrnoval M67 a M257 a naopak v něm chyběly M61, M89, M107. Mnoho prvočísel v tomto tvaru je však známo už výrazně déle (viz níže).

Způsoby hledání Pro hledání Mersennových prvočísel existují specializované velice rychlé metody (oproti obecným metodám pro hledání či testování libovolných prvočísel), což je důvod, proč největší známá prvočísla jsou právě Mersennovými prvočísly.

V současné době nejrychlejší metoda testování prvočíselnosti Mersennových čísel spočívá ve výpočtu rekurentní posloupnosti, vyvinutá v roce 1878 Edouardem Lucasem a vylepšená Lehmerem ve 30. letech 20. století, známá jako Lucasův-Lehmerův test. Tento test je založen na faktu, že Mersennovo číslo je prvočíslem tehdy a jen tehdy, pokud dělí číslo , kde (a ).

Převratem ve vyhledávání Mersennových prvočísel byl příchod počítačů. První počítačem nalezené Mersennovo prvočíslo, M521, bylo nalezeno v 22:00 30. ledna 1952 na počítači na UCLA, pod Lehmerovým vedením, pomocí programu sestaveného profesorem Robinsonem. Od nalezení předchozího Mersennova prvočísla tehdy uběhlo už 38 let, následující prvočíslo (M607) pak bylo nalezeno za necelé dvě hodiny, v dalších měsících pak stejný program nalezl tři další.

V roce 1996 vznikl na Internetu projekt GIMPS pro distribuované vyhledávání Mersennových prvočísel. Tento projekt dosud (říjen 2024) objevil osmnáct největších známých Mersennových prvočísel (tzn. i největší dnes známé prvočíslo).

Známá Mersennova prvočísla Následující tabulka obsahuje všechna známá Mersennova prvočísla (sekvence A000668 v OEIS):

# n Mn Cifer v Mn Datum objevu Objevitel 1. 2 3 1 cca 500 př. n. l. neznámý 2. 3 7 1 cca 500 př. n. l. neznámý 3. 5 31 2 cca 275 př. n. l. neznámý 4. 7 127 3 cca 275 př. n. l. neznámý 5. 13 8191 4 1456 neznámý 6. 17 131071 6 1588 Cataldi 7. 19 524287 6 1588 Cataldi 8. 31 2147483647 10 1772 Euler 9. 61 2305843009213693951 19 1883 Pervušin 10. 89 618970019…449562111 27 1911 Powers 11. 107 162259276…010288127 33 1914 Powers 12. 127 170141183…884105727 39 1876 Lucas 13. 521 686479766…115057151 157 30. ledna 1952 Robinson 14. 607 531137992…031728127 183 30. ledna 1952 Robinson 15. 1 279 104079321…168729087 386 25. června 1952 Robinson 16. 2 203 147597991…697771007 664 7. října 1952 Robinson 17. 2 281 446087557…132836351 687 9. října 1952 Robinson 18. 3 217 259117086…909315071 969 8. září 1957 Riesel 19. 4 253 190797007…350484991 1 281 3. listopadu 1961 Hurwitz 20. 4 423 285542542…608580607 1 332 3. listopadu 1961 Hurwitz 21. 9 689 478220278…225754111 2 917 11. května 1963 Gillies 22. 9 941 346088282…789463551 2 993 16. května 1963 Gillies 23. 11 213 281411201…696392191 3 376 2. června 1963 Gillies 24. 19 937 431542479…968041471 6 002 4. března 1971 Tuckerman 25. 21 701 448679166…511882751 6 533 30. října 1978 Noll a Nickel 26. 23 209 402874115…779264511 6 987 9. února 1979 Noll 27. 44 497 854509824…011228671 13 395 8. dubna 1979 Nelson a Slowinski 28. 86 243 536927995…433438207 25 962 25. září 1982 Slowinski 29. 110 503 521928313…465515007 33 265 28. ledna 1988 Colquitt a Welsh 30. 132 049 512740276…730061311 39 751 20. září 1983 Slowinski 31. 216 091 746093103…815528447 65 050 6. září 1985 Slowinski 32. 756 839 174135906…544677887 227 832 19. února 1992 Slowinski a Gage 33. 859 433 129498125…500142591 258 716 10. ledna 1994 Slowinski a Gage 34. 1 257 787 412245773…089366527 378 632 3. září 1996 Slowinski a Gage 35. 1 398 269 814717564…451315711 420 921 13. listopadu 1996 GIMPS / Joel Armengaud 36. 2 976 221 623340076…729201151 895 932 24. srpna 1997 GIMPS / Gordon Spence 37. 3 021 377 127411683…024694271 909 526 27. ledna 1998 GIMPS / Roland Clarkson 38. 6 972 593 437075744…924193791 2 098 960 1. června 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala 39. 13 466 917 924947738…256259071 4 053 946 14. listopadu 2001 GIMPS / Michael Cameron 40. 20 996 011 125976895…855682047 6 320 430 17. listopadu 2003 GIMPS / Michael Shafer 41. 24 036 583 299410429…733969407 7 235 733 15. května 2004 GIMPS / Josh Findley 42. 25 964 951 122164630…577077247 7 816 230 18. února 2005 GIMPS / Martin Nowak 43. 30 402 457 315416475…652943871 9 152 052 16. prosince 2005 GIMPS / Curtis Cooper a Steven Boone 44. 32 582 657 124575026…053967871 9 808 358 4. září 2006 GIMPS / Curtis Cooper a Steven Boone 45. 37 156 667 202254406…308220927 11 185 272 6. září 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich 46. 42 643 801 169873516…562314751 12 837 064 12. duben 2009 GIMPS / Odd M. Strindmo 47. 43 112 609 316470269…697152511 12 978 189 23. srpna 2008 GIMPS / Edson Smith 48. 57 885 161 581887266…724285951 17 425 170 25. leden 2013 GIMPS / Curtis Cooper 49. 74 207 281 300376418…086436351 22 338 618 7. leden 2016 GIMPS / Curtis Cooper 50. 77 232 917 467333183…762179071 23 249 425 26. prosinec 2017 GIMPS / Jon Pace 51.* 82 589 933 148894445…217902591 24 862 048 7. prosinec 2018 GIMPS / Patrick Laroche 52.* 136 279 841 881694327…486871551 41 024 320 21. října 2024 GIMPS / Luke Durant * Září 2025: Dosud není známo, zda mezi 50. a 52. čísly existují některá dosud neobjevená Mersennova prvočísla, číslování je zde proto pouze dočasné.

Odkazy

Reference

Související články Dokonalé číslo Abundantní číslo Deficientní číslo

Externí odkazy

www.mersenne.org – Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) Mersennovo prvočíslo v encyklopedii MathWorld Mersennovo číslo v encyklopedii MathWorld Historie, věty, seznam Mersennových prvočísel mersennewiki.org – wiki o Mersennových prvočíslech

Kategorie:Prvočísla Kategorie:Teorie čísel