Laplaceova transformace v matematice označuje jednu ze základních integrálních transformací. Používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic, zejména těch, jež se objevují při analýze chování elektrických obvodů, harmonických oscilátorů a optických zařízení. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systémů spojitě pracujících v čase, kde je protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy.
Užitečnost Laplaceovy transformace spočívá v tom, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způsobem, při němž se mnohé složité vztahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší.
Laplaceovu transformaci odvodil roku 1812 francouzský matematik Pierre-Simon de Laplace. Již dříve (1737) však tuto transformaci použil Leonhard Euler při řešení jistých obyčejných diferenciálních rovnic.
Definice
Laplaceova transformace Nechť je funkce spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu . Pak Laplaceova transformace funkce je definována integrálním vztahem:
,
kde je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné , často ji značíme . Definičním oborem je oblast konvergence integrálu (viz níže).
Funkci nazýváme originálem a funkci obrazem funkce .
Inverzní Laplaceova transformace Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:
,
kde je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence (pak celá přímka , přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz níže)).
Vlastnosti Laplaceovy transformace
Existence I v případě, že funkce je na celém intervalu spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí splňovat kritérium konvergence .
Například funkce tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.
Oblast konvergence Pro danou funkci se množina hodnot , pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro v bodě , pak konverguje v každém bodě , pro který . Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy , kde je dáno chováním funkce pro .
Vztah k inverzní Laplaceově transformaci Pro každou funkci takovou, že existuje, platí pro skoro všechna (Lerchova věta):
Vztah k derivaci Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:
Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.
Základní vlastnosti Laplaceovy transformace Pro dané funkce a , a jejich příslušné Laplaceovy transformace a následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:
+ Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace Vzor Obraz Komentář Linearita
Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí. Derivování podle parametru
Derivování originálu
Získá se z integrování per partes. Odčítá se limita funkce zprava v počátku (počáteční podmínka). Integrování originálu
je Heavisideova funkce. Podobnost
Tlumení
Konvoluce
Posunutí (věta o translaci)
Posunutí proměnné v originále o konstantu se projeví vynásobením obrazu výrazem
Odkazy Reference
Související články Integrální transformace Fourierova transformace Z-transformace
Externí odkazy
Učební text z FEL ČVUT o Laplaceově transformaci, Nováková,Hyánková,Průcha
Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Integrální transformace