náhled|Ilustrace binomické věty pro n=2 Binomická věta je matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:
Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:
jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.
Příklady náhled|Ilustrace binomické věty pro n=3 Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:
Na některých středních (základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.
Důkaz Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:
Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro :
z indukčního předpokladu:
násobení přes a :
vyjmutí ze sumy:
substituce :
vyjmutí ze sumy:
složení dvou sum:
z Pascalova pravidla:
přidání mocnin do výrazu: . Q.E.D.
Zobecnění binomické věty Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:
Kde jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:
Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je .
Speciálně pro a dostáváme součet geometrické řady:
Případně pokud je a , pak obdržíme tuto řadu:
Která po integraci přejde na řadu pro :
Speciálně např. když dosadíme , dostaneme docela dobře konvergující řadu pro . Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.
Obdobně, pokud bychom položili a , dostali bychom integrací této řady řadu pro , která taktéž umožňuje vypočítat číslo .
Odkazy
Související články Binomické rozdělení Multinomická věta Pascalův trojúhelník Leibnizovo pravidlo
Externí odkazy
Kategorie:Algebra Kategorie:Kombinatorika Kategorie:Matematické věty a důkazy