V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné, a rovno 1 pro n = 0. Značení n! se vyslovuje jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808. Faktoriál n je roven počtu permutací n-prvkové množiny.
Definice 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 8 9 10 15 20 25 50 …×1064 70 …×10100 100 ×10157 171 ×10309 450 …×101 000 4,0238726008×102,567 …×10 …×10 …×10 …×10 …×10205 023 2.5038989317×101,000,004 …×10 …×10 1,0248383838×1098 101,0000000000×10100 1×10100 109,9565705518×10101 1,7976931349×10308 105,5336665775×10310
Faktoriál je formálně definován takto:
Například:
Pro případ prázdného součinu platí, že
Rekurzivní výpočet Faktoriál lze také definovat rekurzivně:
Zobecnění pro komplexní čísla Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:
Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro , lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel.
Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …
Využití Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.
Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:
Vlastnosti Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:
Dvojitý faktoriál, multifaktoriál Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako
Například , nebo .
Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2… začíná: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, …
Také dvojitý faktoriál je spojen s gama funkcí, např.
Dvojitý faktoriál lze dále zobecnit na záporná lichá čísla (toto není možné u běžného faktoriálu, který při zobecnění na gama funkci pro záporná čísla diverguje). Můžeme tak učinit inverzí rekurentního vztahu:
Platí tak atd.
Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!(k)).
Výpočet v informatice Rekurzivní definice je často užívána i v programování, protože vede na jednoduchý zápis algoritmu využívající rekurzivní volání funkce. Takový výpočet však je z hlediska náročnosti na systémové prostředky (velikost zásobníku) velmi nevhodný (takový počítačový program lze použít jen pro malá čísla, protože obvykle dojde paměť pro zásobník). Proto je vhodnější místo rekurze použít cyklus.
Odkazy Reference
Související články Taylorova řada
Externí odkazy
Faktoriál v encyklopedii MathWorld Online výpočet faktoriálu až 40000! na všechna platná místa
Kategorie:Matematické funkce Kategorie:Kombinatorika Kategorie:Teorie čísel Kategorie:Unární operátory