Základní věta algebry (označovaná i jako fundamentální věta algebryP. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ) je důležité matematické tvrzení. Tvrdí, že každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806.
Přesné znění Nechť je polynom s koeficienty stupně . Pak existuje číslo , že . náhled|151x151pixelů|Animace ilustrující důkaz základní věty algebry na polynomu
Důkazy Ač název věty odkazuje na algebru, jedná se o historický název, kdy se pod algebrou rozumělo především řešení algebraických rovnic. I vzhledem k tomu, že obsahem tvrzení jsou komplexní čísla, která jsou spíše analytickým objektem, všechny důkazy v menší či větší míře využívají metody matematické analýzy (infinitezimálního počtu). Není jasné, zda vůbec čistě algebraický důkaz existuje.
Jeden z důkazů předložil i Carl Gauss ve své disertaci z roku 1799. Ten však obsahoval mezery. Později větu dokázal ještě třemi dalšími způsoby.
Komplexně analytický důkaz Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvilleovy věty z komplexní analýzy: Je-li f holomorfní omezená funkce na , pak f je konstantní.
Dále se dokazuje sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty aspoň prvního stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem je definována na celém . Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje , že pro x z K. Potom pro každé . Tedy g(x) je omezená na a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.
Důsledky Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené. Polynom s komplexními koeficienty stupně má v komplexní rovině právě n kořenů (počítá-li se každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost). Každý polynom s reálnými koeficienty lze zapsat jako součin konstanty a monických ireducibilních polynomů (v ) stupňů jedna a dva. Každou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků.
Související články Algebra Polynom Rovnice Základní věta integrálního počtu
Reference
A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay,
B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag,
C. F. Gauss, “New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree”, 1799
C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91–13
H. Kneser, “Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus”, Mathematische Zeitschrift, 46 (1940), 287–302, podívejte se také na: M. Kneser: “Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra”, Mathematische Zeitschrift, 177 (1981) 285–287
E. Netto and R. Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay,
R. Remmert, “The Fundamental Theorem of Algebra”, v Numbers, 1991, Springer-Verlag,
D. E. Smith, “A Source Book in Mathematics”, 1959, Dover Publications,
M. Spivak, Calculus, 1994, Publish or Perish,
B. L. van der Waerden, Algebra I, 1991, Springer-Verlag,
Externí odkazy
Soubor důkazů základní věty algebry
Kategorie:Algebra * Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Polynomy