Christoffelovy symboly jsou matematické objekty používané v diferenciální geometrii a obecné relativitě k popisu afinní konexe. Jsou pojmenovány po německém matematikovi Elwinu Brunu Christoffelovi (1829–1900).
Ačkoliv se zapisují pomocí indexů, je důležité zdůraznit, že Christoffelovy symboly nejsou složkami tenzoru. Jsou to koeficienty, které určují, jak se mění bázové vektory při přechodu z jednoho bodu do druhého.
Motivace V zakřiveném prostoru (nebo i v eukleidovském prostoru při použití křivočarých souřadnic, jako jsou sférické nebo polární) se bázové vektory mění bod od bodu. Pokud chceme derivovat vektorové pole , musíme podle Leibnizova pravidla derivovat jak složky , tak i bázové vektory :
Zde jsou právě Christoffelovy symboly. Vyjadřují, do jaké míry se báze „zakřivuje“ vzhledem k souřadnicovému systému.
Druhy symbolů Rozlišují se dva druhy Christoffelových symbolů:
Christoffelovy symboly prvního druhu: Christoffelovy symboly druhého druhu (častější):
V případě Levi-Civitovy konexe (používané v obecné relativitě) lze symboly druhého druhu vyjádřit přímo pomocí metrického tenzoru .
Pro definici symbolů druhého druhu je nezbytný inverzní metrický tenzor . Ten je definován jako inverzní matice k matici metrického tenzoru . Jejich vzájemný vztah je vyjádřen pomocí Kroneckerova delta :
Kde pro a pro . Tento vztah umožňuje v tenzorovém počtu operaci „zvedání“ a „snižování“ indexů, což se u Christoffelových symbolů využívá k převodu mezi prvním a druhým druhem:
Transformační vlastnosti Důvodem, proč Christoffelovy symboly nejsou tenzorem, je jejich transformační zákon při změně souřadnic z na :
Druhý člen na pravé straně (obsahující druhé derivace souřadnic) je zodpovědný za to, že se nejedná o tenzor. Tento člen však přesně kompenzuje netenzorové chování parciální derivace složek vektoru, což umožňuje definici kovariantní derivace.
Vlastnosti Symetrie: V případě beztorzní konexe (např. Levi-Civitovy) jsou Christoffelovy symboly symetrické v dolních indexech: . Vztah ke geodetikám: Christoffelovy symboly se přímo objevují v rovnici pro geodetiku (dráhu volné částice):
Související články Kovariantní derivace Metrický tenzor Riemannův tenzor Obecná relativita
Literatura
Kategorie:Diferenciální geometrie