Transformace souřadnic je matematický koncept používaný k převodu bodů mezi různými souřadnicovými systémy. Tato zobrazení umožňují popisovat polohu a pohyb objektů v různých referenčních rámcích. V tradičních případech lze provádět transformaci maticovými operacemi, přičemž těmi nejzákladnějšími jsou rotace, translace, škálování a zkosení. Transformace souřadnic se používá např. ve fyzice při popisu pohybu mezi inerciálními soustavami (Galileiho transformace) nebo nejčastěji při přechodu mezi kartézským souřadnicovým systémem a polárním.

Formální definice Nechť a jsou otevřené množiny v prostoru . Transformace souřadnic je lineární bijektivní zobrazení , pro které platí .

Použití ve fyzice Přechod mezi soustavami prostorových souřadnic Fyzikální zákonitosti lze popisovat obecnými vektorovými vztahy, ale pro vyjádření vícesložkových veličin (tenzory 2. a vyššího řádu) a u konkrétních výpočtů je zpravidla přejít na složkové vyjádření v konkrétní soustavě souřadnic.

Obecně pak platí, že při přechodu od jedné souřadné soustavy ke druhé: skalární veličiny (pravé skaláry) zůstávají stejné (invariantní) vektorové veličiny (pravé vektory) se transformují stejně jako prostorové souřadnice tenzorové veličiny se transformují jako prostorové souřadnice v každém indexu (platí i pro tenzorové vyjádření pseudovektorů a pseudoskalárů).

Je-li přechod ze souřadné soustavy X do souřadné soustavy X′ popsán pro souřadnice vztahem (jedná se v 3rozměrném prostoru o 3 transformační rovnice):

pak pro skaláry S, vektory V a tenzory T platí:

S výhodou se používají transformace z kartézské soustavy souřadnic do jiné soustavy pravoúhlých souřadnic, která respektuje symetrii problému. Pokud se v takové soustavě vyjádří daný fyzikální zákon, umožní to jednodušší výpočet problému. Fyzikální zákony jsou zpravidla vyjádřené v diferenciálním tvaru. Pokud se přetransformují, včetně diferenciálních operátorů jako gradient, divergence či rotace, umožní výsledná podoba s respektem k dané symetrii problému zpravidla separaci proměnných pro jednotlivé souřadnice a snazší řešení výsledných rovnic.

Typické příklady: Přechod od kartézské ke sférické soustavě souřadnic zpravidla podstatně zjednodušuje řešení polí centrální síly, ať už jde o řešení rovnic newtonovského gravitačního pole těles s kulovou (všesměrovou) symetrií, elektrostatického pole bodového náboje, kulového vodiče či dielektrika, Schrödingerovy (případně Diracovy) rovnice pro elektrony v atomu, Kleinovy-Gordonovy rovnice pro mezoatomy apod. Přechod od kartézské k cylindrické soustavě je pak vhodný pro systémy s válcovou symetrií, například pro řešení elektrických a magnetických polí přímých vodičů. Protože tato transformace ponechává jednu souřadnici (tradičně přiřazenou souřadné ose z), jedná se o transformaci do polárních souřadnic v rovině kolmé na tuto osu, tedy lze použít i pro rovinné problémy.

Konkrétní aplikace pak ilustrují např. starší učebnice s velmi podrobným řešením fyzikálních úloh mechaniky, elektromagnetického poleStratton J. A.: Electromagnetic theory, McGraw-Hill, New York 1949. Český překlad Teorie elektromagnetického pole, SNTL, Praha 1961., atomové fyziky apod.

Přechod mezi soustavami časoprostorových souřadnic V klasické mechanice i v teorii relativity je z hlediska invariance fyzikálních zákonů při přechodu od jedné soustavy do druhé důležité zahrnout do transformace vedle prostorových souřadnic i čas.

Pro přechod mezi dvěma inerciálními soustavami se používá Galileova transformace (v přiblížení nerelativistické mechaniky), resp. Lorentzova transformace (ve speciální teorii relativity). Při takovém přechodu platí Galileiho princip relativity resp. Einsteinův princip relativity.

Při transformaci do neinerciální vztažné soustavy již invariance fyzikálních zákonů neplatí, a to ani v případě klasické mechaniky. K dosažení zdánlivé obdoby je potřeba zavést zdánlivé, tzv. setrvačné síly, které nespočívají v pravém silovém působení materiálních objektů, ale jsou přirozeným důsledkem transformace.

Symetrie a zákony zachování V teoretické fyzice mají hluboký význam symetrie, chápané obecněji než v geometrii jako invariance při základních transformacích, které představují zobecnění přechodů od jedné souřadné soustavy ke druhé. Základními obecnými transformacemi jsou translace (posunutí) v prostoru nebo čase, rotace (otočení) v prostoru, Poincarého transformace („otočení“ v časoprostoru), kalibrační (škálovací) transformace, ale patří sem i obecnější grupy transformací aplikované v částicové fyzice. Platí-li nezávislost daného fyzikálního jevu na základní spojité transformaci, lze k ní podle teorému Noetherové přiřadit i konkrétní veličinu, pro kterou platí zákon zachování. Tak lze teoreticky zdůvodnit zachování energie (invariance vzhledem k časovému posunu), hybnosti (invariance vzhledem k prostorovému posunutí), momentu hybnosti (invariance vzhledem k prostorovému otočení), elektrického náboje (invariance vzhledem ke škálovací transformaci), ale například i hypernáboje, izospinu, slabého izospinu, barvy a dalších.

Reference

Kategorie:Matematické operace