Signatura metriky je v diferenciální geometrii a matematické fyzice vlastnost metrického tenzoru, která určuje počet kladných, záporných a nulových vlastních čísel odpovídající kvadratické formy. Signatura metriky charakterizuje geometrické vlastnosti prostoru a je invariantní vůči změně souřadnic podle Sylvesterova zákona setrvačnosti.
Signatura metriky se obvykle zapisuje jako dvojice čísel nebo jako posloupnost znamének, kde označuje počet kladných a počet záporných vlastních hodnot metrického tenzoru (resp. odpovídající kvadratické formy). .
Metrika s kladně definitní signaturou se nazývá riemannovská. Metrika se signaturou obsahující právě jedno opačné znaménko, například nebo , se nazývá lorentzovská. Obecně se metrika obsahující kladná i záporná znaménka označuje jako metrika se smíšenou signaturou.
Eukleidovský prostor má kladně definitní signaturu neboli , což znamená, že všechny směry mají kladnou normu.
Minkowského prostoročas používaný ve speciální teorii relativity je vybaven lorentzovskou metrikou. V závislosti na zvolené konvenci se používá signatura nebo .
První konvence je častá v částicové fyzice, druhá v obecné teorii relativity. Riemannovská metrika Riemannovská metrika má kladně definitní signaturu a zavádí na prostoru standardní skalární součin, velikost vektorů a úhel mezi vektory.
Skalární součin dvou vektorů a je definován pomocí metrického tenzoru vztahem .
Velikost vektoru a úhel mezi dvěma vektory lze následně definovat obdobně jako v eukleidovském prostoru: , .
Lorentzovská metrika Lorentzovská metrika zavádí tzv. kauzální strukturu prostoročasu, která rozděluje vektory podle znaménka kvadrátu jejich normy.
Pro metriku se signaturou například se vektor označuje jako: časupodobný, pokud , nulový (světelný), pokud , prostorupodobný, pokud .
Toto rozdělení tvoří základ kauzální struktury prostoročasu ve speciální a obecné teorii relativity. Význam Signatura je invariantní vlastnost metriky daná Sylvesterovým zákonem setrvačnosti, což znamená, že se nemění při změně souřadnic.
Literatura
Reference
Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Matematická fyzika