Kanonická hybnost (někdy též zobecněná hybnost) je základní fyzikální veličina v rámci Hamiltonovy mechaniky a zobecňuje zde roli rychlosti. Kanonická hybnost společně se zobecněnými souřadnicemi parametrizuje fázový prostor. Kanonická hybnost se vyskytuje například v Hamiltonových rovnicích a v definici Poissonovy závorky.
Definice a význam Kanonická hybnost je definována jako parciální derivace Lagrangeovy funkce vůči j-té zobecněné rychlosti .
Přímo z definice vyplývá, že je kovektor. Kanonické hybnosti jsou navzájem nezávislé a nezávisí explicitně ani na žádných souřadnicích . Tuto jejich nezávislost můžeme zapsat následovně.
Ve fyzikálním systému s n stupni volnosti je tak každý bod ve fázovém prostoru popsán právě 2n parametry a to . Pár souřadnice a příslušné hybnosti nazýváme pro každý index dvojicí kanonicky sdružených proměnných. Geometrická interpretace
V Lagrangeově mechanice se zobecněné rychlosti popisují jako vektory ležící v tečném prostoru ke konfiguračnímu prostoru. Naproti tomu v Hamiltonově mechanice přebírají kanonické hybnosti roli zobecněných rychlostí. Kanonické hybnosti jsou kovektory a leží v takzvaném kotečném prostoru konfiguračního prostoru. Kotečný prostor je duální vektorový prostor k tečnému prostoru (oba prostory jsou tečné ke konfiguračnímu prostoru ve stejném bodě). Dualita mezi Lagrangeovou a Hamiltonovou mechanikou tak tkví v dualitě vektorů a kovektorů. Stejně jako tečné prostory společně tvoří tečný svazek, kotečné prostory tvoří tzv. kotečný svazek. Vlastnosti Mějme Lagrangeovu funkci, která nezávisí na zobecněné souřadnici (v konzervativním systému). Z pohybových rovnic pak vyplývá, že se v čase zachovává kanonická hybnost, kterou v tomto kontextu nazýváme zobecněná hybnost. Pohybová rovnice pro j-tou souřadnici se zde zjednoduší, protože druhý člen je díky nezávislosti na nulový.
Například pro klasický fyzikální systém pouze s jedním volným hmotným bodem má Lagrangián tvar . Pokud explicitně spočítáme parciální derivaci z uvedeného výše, zobecněná hybnost je pak rovna , což odpovídá newtonovské hybnosti ve známém tvaru hmotnost krát rychlost. V tomto speciálním případě se klasická newtonovská hybnost rovná zobecněné hybnosti a zachovává se.
Za výše uvedených předpokladů se zobecněná hybnost zachovává, ale obecně nemusí být rovna newtonovské hybnosti. Například pro nabitou částici v magnetickém poli dostaneme výraz , kde je náboj částice a je vektorový potenciál elektromagnetického pole. Pokud je zde vektorový potenciál nezávislý na souřadnici , pak se zobecněná hybnost v čase zachovává, ale naproti tomu newtonovská hybnost nemusí.
Odkazy Poznámky
Literatura
Související články zobecněné souřadnice fázový prostor
integrál pohybu Hamiltonova funkce
Externí odkazy – hlavní stránka Ústavu teoretické fyziky MFF UK
Kategorie:Teoretická mechanika