alt=Dvě šikmé úsečky spojené v krajním bodě tvořící úhel.|náhled|Zeleně vyznačený úhel tvoří dvě červené polopřímky vycházející ze stejného bodu (tzv. ramena úhlu), jenž tvoří vrchol úhlu. Obrázek je v kartézské soustavě souřadnic.
Úhel (přesněji rovinný úhelpřesnější pojem je důležitý u prostorových aplikací, pokud nevyplývá z kontextu) může být definován jako: (jakožto rovinný útvar) část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátkem, (jakožto obecná geometrická struktura v rovině nebo v prostoru) dvojice polopřímek se společným počátkem nebo dvojice přímek se společným bodem, (ve smyslu orientovaný úhel) uspořádaná dvojice dvou orientovaných přímek se společným bodem nebo dvou polopřímek se společným počátkem nebo veličina charakterizující polohový vztah mezi nimi.Geometrie: základy geometrie v rovině. Díl 1, Plzeň : Západočeská univerzita, 2002
V prostoru se kromě rovinného úhlu definuje prostorový úhel (jako útvar a jemu odpovídající veličina).
Základní pojmy alt=Úhel|náhled Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ramena úhlu, společný počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu.
Do úhlu zahrnujeme i body ležící na polopřímkách ramen úhlu.
Množina všech bodů úhlu, které neleží na žádné z polopřímek, se nazývá vnitřek úhlu. Množina všech bodů roviny, které nepatří do úhlu, se nazývá vnějšek úhlu.
Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu. Zápis úhlu se provádí pomocí řeckého písmene, např. (alfa), nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí: pomocný bod na prvním rameně – vrchol – pomocný bod na druhém rameně, např. (vrchol úhlu leží na středním bodu).
Druhy úhlů + Název úhlu Popis Podmínkykonvexníkonvexní úhel je konvexní obrazec; velikost takového úhlu je menší nebo rovna 180° () nebo rovna 360° ()α ≤ 180°nulovýúhel tvořený dvěma rameny, která jsou shodná a leží tedy na sobě (splývají v jednu polopřímku); jeho velikost je rovna 0° () a má nulovou plochu (jde jen o jednorozměrný objekt)α = 0°ostrý úhel menší než pravý úhel; jeho velikost je větší než 0° (), ale menší než 90° ()0° < α < 90°pravý úhel je polovina přímého úhlu (označujeme ho tečkou v obloučku). Dvě přímky v pravém úhlu (tedy vzájemně kolmé) dělí plochu na 4 shodné kvadranty; jeho velikost je 90° ()α = 90°tupý úhel větší než pravý úhel, ale menší než přímý úhel; jeho velikost je větší než 90° (), ale menší než 180° ()90° < α < 180°vypuklý úhel, který je menší než přímý úhel; jeho velikost je menší než 180° ()α < 180°kosý společný název pro ostrý, pravý a tupý úhel; jeho velikost je větší než 0° a menší než 180° ()0° < α < 180°přímý úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky; jeho velikost je 180° (); de facto se tak jedná o přímku, resp. polorovinu.α = 180°konkávní (dutý) úhel, který je větší než přímý úhel, ale menší než plný úhel; úhel, který není konvexní; jeho velikost je větší než 180° (), ale menší než 360° ()180° < α < 360°plný úhel, jehož ramena leží na sobě (splývají v jednu polopřímku), svou plochou obsahuje celou rovinu; jeho velikost je rovna 360° ()α = 360°
Druhy úhlů Konvexní úhel
Označení používané v trigonometrii
výškový úhel – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět ve výšce s vodorovnou rovinou hloubkový úhel – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět v hloubce s vodorovnou rovinou zorný úhel – úhel, který spolu svírají směry, kterými pozorujeme dvě nejodlehlejší místa předmětu (nebo také úhel pod kterým vidíme předmět)
Dvojice úhlů V matematice jsou zvláštní dvojice úhlů pojmenované jako: vrcholové, vedlejší, souhlasné a střídavé. Vrcholové úhly – dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vrcholové úhly mají společný vrchol.
Vrcholové úhly
Vedlejší úhly – dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.
Vedlejší úhly
Souhlasné úhly – dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné.
Souhlasné úhly
Střídavé úhly – dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné.
Střídavé úhly
Úhly příslušné k oblouku kružnice Středový úhel – úhel, jehož vrcholem je střed , kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku kružnice (, – středové úhly). Středový úhel
Obvodový úhel – každý úhel, jehož vrchol leží na kružnici a ramena procházejí krajními body oblouku kružnice (, ). Obvodový úhel
Úsekový úhel – úhel, jenž svírá tětiva kružnice s tečnou kružnice v bodě (popř. bodě ). Úsekový úhel
Vztahy mezi velikostmi těchto úhlů popisuje následující obrázek:
Úhly kružnice
Souměrnost Všechny úhly jsou osově souměrné, osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu).
Osa úhlu
Orientovaný úhel Orientovaným úhlem se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek , se společným bodem , přičemž polopřímka se nazvývá počáteční rameno úhlu a polopřímka koncové rameno úhlu. Bod je vrcholem orientovaného úhlu.
Velikost úhlu Velikost úhlu je nezáporné číslo, které lze přiřadit každému úhlu. Platí přitom, že shodné úhly mají stejnou velikost a také, že součet velikostí úhlů a je roven velikosti úhlu .
Číselná velikost úhlu je dána volbou nenulového úhlu, kterému přiřadíme velikost 1. V matematice i praxi se pro měření úhlu používá (viz níže): oblouková míra, stupňová míra, setinná míra, ale také například hodinová pozice pro vyjádření azimutu.
Oblouková (radiánová) míra Hodnota jednotkového úhlu v obloukové míře je zvolena tak, že úhel o velikosti 1 vymezuje na kružnici se středem ve vrcholu úhlu oblouk, jehož délka je rovna poloměru dané kružnice. Hodnotu obloukové míry úhlu značíme .
Velikost libovolného úhlu je možné určit jako poměr délky oblouku vymezeného rameny na kružnici opsané kolem vrcholu k poloměru této kružnice, tzn. , kde je délka kruhového oblouku mezi přímkami, které vymezují úhel, a je poloměr kruhového oblouku. Velikost pravého úhlu je v obloukové míře rovna .
Úhlová jednotka obloukové míry je radiánech (zkratka rad).
Stupňová míra Stupňová míra (devadesátinná, nonagesimální) je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 90 dílů, které se nazývají (úhlové) stupně. Vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou lze tedy zapsat jako
Vyjádření úhlu v šedesátkové soustavě: Úhlový stupeň se dělí na 60 (úhlových) minut, tzn. 1° = 60′. Pro úhlové minuty se používá také označení arcminute nebo arcmin. 60 arcmin = 60′ = 1°. Každá úhlová minuta se dále dělí na 60 (úhlových) vteřin, tzn. 1′ = 60′′. Pro úhlové vteřiny se používá také označení arcsecond nebo arcsec. 3600 arcsec = 3600′′ = 60′ = 1°.
Vyjádření úhlu v desítkové soustavě: úhlový stupeň se dělí dekadicky, např. 22° 29′ 36′′ = 22,4933°.
Setinná míra Setinná míra je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 100 dílů, které nazýváme gony (grady, setinné stupně). Vztah mezi setinnou a obloukovou mírou lze zapsat jako
Setinný stupeň se dělí na 100 setinných minut, tzn. , a každá setinná minuta se dělí na 100 setinných vteřin, tzn. .
Příklady Jeden stupeň je 1/180 přímého úhlu, neboli přímý úhel má velikost 180°. Zlomky stupňů se vyjadřují buď v desítkové nebo v šedesátkové soustavě, viz následující příklady: půl stupně = 0,5° = 0° 30’ tj. 30 úhlových minut osmina stupně = 0,125° = 0° 7’ 30" tj. 7 úhlových minut a 30 vteřin.
Jeden radián je přímého úhlu.
Stupně se používají především z historických důvodů a také pro relativně snadné provádění jednoduchých výpočtů. Radiány mají výhodu při složitějších výpočtech – zvláště při derivování či integraci není třeba počítat se speciálními konstantami. Radián je navíc relativně intuitivní jednotka. Vyjadřuje přímo délku oblouku, vytyčeného daným úhlem na jednotkové kružnici.
Velikost orientovaného úhlu Velikost orientovaného úhlu je (v obloukové míře) rovna , kde je velikost stejného neorientovaného úhlu a je celé číslo. Velikost orientovaného úhlu je úhel, kterým musí projít počáteční rameno při otočení do koncového ramene. Člen představuje počet celých otoček kolem vrcholu úhlu.
Základní úhel Základní úhel (resp. základní velikost orientovaného úhlu) je neorientovaná velikost úhlu, která spadá do zleva uzavřeného intervalu nebo v obloukové míře . Při převodu velikosti úhlu na základní úhel ve stupních proto opakovaně odečítáme/přičítáme 360°, dokud není výsledek v požadovaném intervalu. Velikost 0° se neupravuje a naopak velikost 360° je 0°. Velikost 400° převedeme na 40° (protože 400 − 360 = 40), velikost 800° je pak 80° (800 − 360 − 360 = 80°), velikost −60° převedeme na 300° (protože −60 + 360 = 300).
Rovinný úhel jako fyzikální veličina náhled|vpravo|Pravidlo pravé ruky Rovinný úhel je také fyzikální veličina užívaná k udávání polohy v prostoru (sférické souřadnice, cylindrické souřadnice) a k popisu otáčivých pohybů a jejich skládání (včetně otáčení s různoběžnými osami). Nejedná se tedy pouze o rovinné, ale i ryze prostorové problémy.
V soustavě SI je hlavní jednotkou rovinného úhlu jakožto fyzikální veličiny 1 radián,Příručka SI: Tabulka 3 – Koherentní odvozené jednotky v SI se zvláštními názvy. BIPM/SI, 2014. Dostupné online (anglicky) normy připouštějí i jednotky (úhlový) stupeň, (úhlová) minuta a (úhlová) vteřina (dříve tzv. vedlejší jednotky, dnes mimosoustavové jednotky přípustné k použití se SI).Příručka SI: Tabulka 6 - Mimosoustavové jednotky přípustné k použití se SI. BIPM/SI, 2014. Dostupné online (anglicky)
Pro vyjádření polohy roviny úhlu v prostoru a současně jeho orientace se původně skalární veličina zobecňuje na axiální vektor. Jeho směr leží v přímce kolmé k rovině úhlu procházející vrcholem úhlu. Orientace je konvencí stanovena tak, že při kolmém pohledu na rovinu úhlu s kladnou orientací (proti směru hodinových ručiček) směřuje vektor úhlu k pozorovateli. Jednoduše lze stanovit pravidlem pravé ruky: Položíme-li dlaň pravé ruky malíčkovým hřbetem na rovinu úhlu tak, že zahnuté články prstů směřují ve směru od počátečního ke koncovému rameni (v kinematice je to směr otáčení), ukazuje palec směr vektoru úhlu.
Toto prostorové zobecnění je oprávněné (neuvažujeme-li triviální případ úhlů v jedné rovině) pouze v případě velmi malých otočení; vektorová algebra platí pouze pro elementární (ve smyslu infinitezimální) úhly. Lze pak bez problémů používat i pro veličiny vzniklé časovou derivací úhlu: S využitím vektorového vyjádření úhlu pak lze jednoduše vektorově definovat i úhlovou rychlost a mnohé jiné veličiny.
Naopak pro obecné úhly je nutno volit jiný algebraický popis, aby byl konzistentní i pro skládání úhlů. Takové skládání totiž obecně není komutativní (tedy záleží na pořadí skládaných úhlů otočení) a znázornění úhlu axiálním vektorem je proto nekorektní. Pro analytický popis jsou například vhodné kvaterniony rotace, v nichž vystupují čtveřice Eulerových parametrů (zpravidla značených A, B, C, D), nebo parametrické vyjádření lineárně lomenou transformací se čtveřicí Cayleyových-Kleinových parametrů (zpravidla α, β, γ, δ).
Operace s úhly
Sčítání úhlů