Binární relace je pojem z matematiky. Vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům množiny druhé.
Příklad: Mějme množiny čísel , . Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z k prvkům z . Vidíme, že číslo z množiny „je větší“ než číslo z množiny . Říkáme, že prvek je v binární relaci „je větší“ s prvkem , zkráceně „je větší“ . Většinou prvky, které jsou v binární relaci, značíme jen jako uspořádanou dvojici . Binární relaci z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic . Na množinu lze nahlížet jako na podmnožinu kartézského součinu . Trojici množin lze považovat za definici binární relace.
Definice Binární relace je uspořádaná trojice , kde a jsou libovolné množiny a je podmnožina kartézského součinu . Množině se říká definiční obor, množině obor hodnot a množinu nazýváme graf relace.
To, že prvek je v relaci s prvkem značíme zápisem , nebo zápisem , kde a .
Druhy relací Binární relace je:
reflexivní: pokud pro každé platí . (Prvek je v relaci sám se sebou.) Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní relace je "je vyšší". Neplatí, já "je vyšší" (než) já.
antireflexivní: pokud pro každé neplatí . (Prvek není v relaci sám se sebou.)
symetrická: pokud platí , pak platí . Příkladem může být relace „je sourozenec“. Je-li i množinou všech mých příbuzných, a platí-li (já sestra), pak také platí (sestra já). Pokud sourozence nemám, je graf relace prázdnou množinou. I taková relace je symetrická.
silně antisymetrická: pokud platí , pak neplatí .
slabě antisymetrická: pokud platí a , pak platí .
trichotomická: pokud platí nebo nebo .
tranzitivní: pokud platí a , pak platí . Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr a současně Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.
Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.
Relaci, která je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní nazýváme neostré uspořádání.
Relaci, která je antireflexivní a tranzitivní nazýváme ostré uspořádání.
Operace s relacemi Na množině binárních relací jsou definovány následující operace, jejichž výsledkem je opět relace:
Inverzní relace k relaci mezi množinami a je relace
Relace složená z relací a je relace
Průnik relací a je relace
Sjednocení relací a je relace
Reference
Literatura
Externí odkazy
Kategorie:Matematické relace a zobrazení