thumb|300px|right|Los primeros mil valores de .
La función φ de Euler (también llamada función totiente) es una función importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se define como la cantidad de enteros positivos menores a n y coprimos con n, es decir, formalmente se puede definir como:
donde |·| significa la cardinalidad del conjunto descrito.
Otra forma de definir el totiente de un número natural n es indicar que es la cantidad de números enteros positivos menores que n tales que el máximo común divisor con respecto a n es igual a 1.
La función φ es importante principalmente porque proporciona el tamaño del grupo multiplicativo de enteros módulo n. Más precisamente, es el orden del grupo de unidades del anillo . En efecto, junto con el teorema de Lagrange de los posibles tamaños de subgrupos de un grupo, proporciona una demostración del teorema de Euler que dice que para todo a coprimo con n. La función φ juega también un papel clave en la definición del sistema de cifrado RSA.
Historia, terminología y notación
Leonhard Euler introdujo la función en 1763.L. Euler "Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata" (An arithmetic theorem proved by a new method), Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (New Memoirs of the Saint-Petersburg Imperial Academy of Sciences), 8 (1763), 74–104. (La obra fue presentada en la Academia de San Petersburgo el 15 de octubre de 1759. Una obra con el mismo título fue presentada en la Academia de Berlín el 8 de junio de 1758). Disponible en línea en: Ferdinand Rudio, , Leonhardi Euleri Commentationes Arithmeticae, volume 1, in: Leonhardi Euleri Opera Omnia, series 1, volume 2 (Leipzig, Germany, B. G. Teubner, 1915), pages 531–555. On page 531, Euler defines as the number of integers that are smaller than and relatively prime to (... aequalis sit multitudini numerorum ipso N minorum, qui simul ad eum sint primi, ...), que es la función fi, φ(N).Sandifer, p. 203Graham et al. p. 133 note 111 Sin embargo, en ese momento no eligió ningún símbolo específico para denotarla. En una publicación de 1784, Euler estudió de nuevo la función más a fondo, eligiendo la letra griega para denotarla: escribió para "la multitud de números menores que , y que no tienen un divisor común con él".L. Euler, Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum, Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae, vol. 4, (1784), pp. 18–30, or Opera Omnia, Series 1, volume 4, pp. 105–115. (La obra fue presentada en la Academia de San Petersburgo el 9 de octubre de 1775). Esta definición varía de la definición actual de la función totiente en pero, por lo demás, es la misma. La notación ahora estándarBoth and are seen in the literature. These are two forms of the lower-case Greek letter φ. proviene del tratado de Carl Friedrich Gauss de 1801 Disquisitiones arithmeticae,Gauss, Disquisitiones Arithmeticae article 38 aunque Gauss no usó paréntesis alrededor del argumento y escribió . Por lo tanto, a menudo se la llama función phi de Euler o simplemente función phi.
En 1879, J. J. Sylvester acuñó el término totiente para esta función,J. J. Sylvester (1879) "On certain ternary cubic-form equations", American Journal of Mathematics, 2 : 357-393; Sylvester coins the term "totient" on page 361."totient". Oxford English Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. 1989. por lo que también se la conoce como función totiente de Euler, totiente de Euler, o el totiente de Euler. El totiente de Jordan es una generalización de la idea de Euler.
El cototiente de se define como . Cuenta el número de enteros positivos menores o iguales a que tienen al menos un factor primo en común con .
Primeras propiedades y cálculo de la función Se sigue de la definición que , pues el elemento sólo puede ser coprimo consigo mismo. Para otros números se cumple que:
si es primo. si es primo y es un número natural. es una función multiplicativa: si y son coprimos, entonces .
La primera propiedad se demuestra fácilmente, porque un número primo es coprimo con todos sus números anteriores. Y, por tanto, existen elementos coprimos con . En otras palabras, como es primo sólo tendrá de divisores a sí mismo y a la unidad, la cual está presente en los números anteriores a .
Para la segunda propiedad, debemos observar que si es primo sólo sus múltiplos menores o iguales que presentan un común divisor con distinto de uno. Esto es, son los únicos números tales que . Como en total hay números que satisfacen esta propiedad, el resto de números entre y sólo tienen a como divisor común con . Esto es, . (Nótese que esta segunda propiedad se cumple porque es primo. En efecto, si hubiera un , tal que , entonces sería divisor de ( veces); es decir, sería una potencia (y por consiguiente múltiplo) de , contradiciendo la suposición inicial ).
Para demostrar la tercera propiedad, sean , , los conjuntos de enteros positivos que son coprimos y menores que , , respectivamente ( entonces , y ). Luego, por el Teorema Chino del Resto existe una biyección entre y , lo que implica que .
Con esto, el valor de puede calcularse empleando el Teorema Fundamental de la Aritmética: si
donde los pj son números primos distintos, entonces
Esta fórmula puede reescribirse de la siguiente manera (conocida como la Fórmula de Producto de Euler):
donde los son los distintos primos que dividen a .
Ejemplo de cálculo
También,
Se puede comprobar manualmente que los números coprimos con 36 (o sea, que no son divisibles por 2 ni por 3) son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.
Transformada de Fourier
El totiente es la transformada de Fourier discreta del mcd, evaluado en 1. Sea
donde para . Entonces
La parte real de esta fórmula es
A diferencia del producto de Euler y la fórmula de la suma del divisor, esta no requiere conocer los factores de . Sin embargo, implica el cálculo del máximo común divisor de y todo número entero positivo menor que , lo que es suficiente para proporcionar la factorización de todos modos.
Suma de sus divisores La propiedad establecida por Gauss,Gauss, DA, art 39 de que
donde la suma es sobre todos los divisores positivos de , se puede demostrar de varias maneras (véase función aritmética para conocer las convenciones de la notación).
Una prueba es notar que también es igual al número de posibles generadores del grupo cíclico ; específicamente, si con , entonces es un generador para cada coprimo de a . Dado que cada elemento de genera un subgrupo cíclico, y todos los subgrupos son generados precisamente por elementos de , la fórmula es la siguiente.Gauss, DA art. 39, arts. 52-54 De manera equivalente, la fórmula se puede derivar mediante el mismo argumento aplicado al grupo multiplicativo de las raíces de unidad -ésimas raíces de la unidad y -ésimas primitivas.
La fórmula también se puede derivar de la aritmética elemental.Graham et al. pp. 134-135 Por ejemplo, sea y considérense las fracciones positivas hasta 1 con denominador 20:
Reduciéndolas a términos mínimos:
Estas veinte fracciones son todas las ≤ 1 positivas cuyos denominadores son los divisores . Las fracciones con 20 como denominador son aquellas con numeradores relativamente primos a 20, a saber, , , , , , , y . Por definición, se trata de las fracciones con denominador 20. De manera similar, hay fracciones con denominador 10 y fracciones con denominador 5, etc. Por lo tanto, el conjunto de veinte fracciones se divide en subconjuntos de tamaño para cada que divide 20. Se aplica un argumento similar para cualquier n.
La fórmula de inversión de Möbius aplicada a la fórmula de la suma del divisor da
donde es la función de Möbius, la función multiplicativa definida por y para cada primo y . Esta fórmula también se puede derivar de la fórmula del producto multiplicando para obtener
Un ejemplo:
Algunos valores
Los 99 primeros valores de la función vienen escritos en la siguiente tabla, así como gráficamente. +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 0+ 1 1 2 2 4 2 6 4 610+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 2440+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 4250+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 5860+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 4470+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 7880+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 8890+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60
Teorema de Euler
El teorema de Euler establece que si y son números coprimos, entonces
El caso especial donde es primo se conoce como el pequeño teorema de Fermat.
Esto se deduce del teorema de Lagrange y del hecho de que es el orden del grupo multiplicativo de enteros módulo .
El sistema de encriptado RSA se basa en este teorema: implica que el inverso de la función , donde es el exponente de cifrado (público), es la función , donde , el exponente de descifrado (privado), es el inverso multiplicativo de módulo . La dificultad de calcular sin conocer la factorización de es, por lo tanto, la dificultad de calcular : esto se conoce como el problema RSA, que se puede resolver factorizando . El propietario de la clave privada conoce la factorización, ya que una clave privada RSA se construye eligiendo como el producto de dos números primos grandes (elegidos al azar) y . Solo se divulga públicamente y, dada la dificultad de factorizar números muy largos, se tiene la garantía de que nadie más conocerá la factorización.
Otras fórmulas
( , ) : Sea . Entonces tenemos que: . Luego, por el Teorema de Lagrange, divide a . Pero si , y además . Por lo tanto, , donde Nótense los casos especiales:
Compárese esto con la fórmula (véanse mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (mcd)). es par para . Además, si tiene factores primos impares distintos, Para cualquier y tal que existe un tal que . , donde es el radical de (el producto de todos los primos distintos que dividen ). Dineva (en referencias externas), prop. 1
( citado en)
&thinsp, donde es la constante de Euler-Mascheroni. , donde es un entero positivo y es el número de factores primos distintos de .Bordellès in the external links
Identidad de Menon
En 1965, P. Kesava Menon demostró que
, donde es el número de divisores de .
Fórmulas que involucran la proporción áurea
SchneiderTodas las fórmulas en la sección son de Schneider (en los enlaces externos) encontró un par de identidades que conectan la función totiente, el número áureo y la función de Möbius . En esta sección, es la función totiente y es la proporción áurea.
Se tiene que:
y
Si se restan, se obtiene
La aplicación de la función exponencial a ambos lados de la identidad anterior produce una fórmula de producto infinito vinculada a :
La demostración se basa en las dos fórmulas siguientes
Funciones generadoras
La serie de Dirichlet para puede escribirse en términos de la función zeta de Riemann como:
donde el lado izquierdo converge para .
La función generadora de la serie de Lambert es
que converge para .
Ambas fórmulas se demuestran mediante manipulaciones de series elementales y las fórmulas para .
Tasa de crecimiento
En palabras de Hardy & Wright, el orden de es "siempre «casi »".
Primero
pero como n tiende a infinito, para todo
Estas dos fórmulas se pueden probar usando poco más que las fórmulas para y la función suma de divisores .
De hecho, durante la demostración de la segunda fórmula, la desigualdad
verdadera para , está probada.
También se tiene que
Aquí es la constante de Euler, , entonces y .
Probar esto no requiere del todo el teorema de los números primos.De hecho, el teorema de Chebyshov () y el tercer teorema de Mertens es todo lo que se necesita. Dado que tiende a infinito, esta fórmula muestra que
Y de hecho, se comprueban más propiedades,Theorem 15 of Bach & Shallit, thm. 8.8.7 como
y