150px|thumb|right|Diagrama de Euler mostrando que A es un subconjunto de B. Es decir, A ⊆ B. es subconjunto de otro conjunto si todos los elementos de pertenecen también a . Decimos entonces que «está contenido» dentro de .

Definición La diferencia entre los conjuntos es formado por elementos que pertenecen a uno y a los otros no. Otras maneras de decirlo son « está incluido en », « incluye a », etc.

Ejemplos El «conjunto de todas las mujeres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas». } . Es decir, números pares positivos números naturales

Subconjunto propio thumb|upright=1.6|Diagrama de las 11 relaciones posibles entre conjuntos. Muestra visualmente todos los casos de inclusión, solapamiento y separación (incluyendo cuando solo se tocan los bordes). Es cierto que cada elemento de un conjunto es un elemento de (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Así, dados dos conjuntos , cabe la posibilidad de que sean iguales, .

Por otro lado, es posible también que contenga algunos pero no todos los elementos de :

Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

Según el autor, y subconjunto o subconjunto propio..Sin embargo, es importante aclarar que existe una diferencia entre subconjunto y subconjunto propio, pues el subconjunto abarca la definición de subconjunto propio.

Conjunto potencia

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de :

Cuando el conjunto tiene un número finito de elementos, por ejemplo , el conjunto potencia también es finito y tiene elementos.

Por ejemplo, dado el conjunto , su conjunto potencia es:

Propiedades

Esto se debe a que «todo elemento de lo es de » significa lo mismo que « no tiene ningún elemento que no esté en », y esto es cierto sea cual sea ya que no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto lo es de otro conjunto , y cada elemento de a su vez lo es de otro conjunto , entonces cada miembro de pertenece también a , o sea: thumb| y implica En el diagrama, .

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Propiedades avanzadas La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (); transitiva ( y implican ); y antisimétrica ( y implican ).

Bibliografía

Véase también Teoría de conjuntos Conjunto Intersección de conjuntos Unión de conjuntos Diferencia de conjuntos Complemento de un conjunto

Referencias

Enlaces externos

Categoría:Teoría de conjuntos

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