thumb|450px|Una gráfica de la distribución normal (o curva en forma de campana, o curva de Gauss), donde cada banda tiene un ancho de una vez la desviación estándar (véase también: regla 68-95-99.7)
En estadística, la desviación típica (también conocida como desviación estándar y desvío típico) y representada de manera abreviada por la letra griega minúscula sigma σ o la letra latina s, así como por las siglas SD es una medida que se utiliza para cuantificar la variación o la dispersión de un conjunto de datos numéricos.
Una desviación estándar baja indica que la mayor parte de los datos de una muestra tienden a estar agrupados cerca de su media (también denominada el valor esperado), mientras que una desviación estándar alta indica que los datos se extienden sobre un rango de valores más amplio.
Consideraciones generales
La desviación estándar de una variable aleatoria, población estadística, conjunto de datos o distribución de probabilidad es la raíz cuadrada de su varianza. Es algebraicamente más simple, aunque en la práctica menos robusta, que la desviación media. Una propiedad útil de la desviación estándar es que, a diferencia de la varianza, se expresa en las mismas unidades que los datos a partir de los que se calcula.
Además de expresar la variabilidad de una población, la desviación estándar se usa comúnmente para medir la fiabilidad de las conclusiones estadísticas. Por ejemplo, el margen de error en los datos de los sondeos de opinión se determina calculando la desviación estándar esperada en los resultados si la misma encuesta se llevara a cabo varias veces. Esta interpretación de la desviación estándar a menudo se denomina "error estándar" de la estimación o "error estándar de la media" (cuando se refiere a una media). Se calcula como la desviación estándar de todas las medias que se calcularían a partir de esa población si se extrajera un número infinito de muestras y se calculase la media para cada muestra.
Es muy importante tener en cuenta que la desviación estándar de una población y el error estándar de una estadística obtenida a partir de esa población (como la media) son bastante diferentes, pero están relacionados (relacionados por la inversa de la raíz cuadrada del número de observaciones). El margen de error de una encuesta se calcula a partir del error estándar de la media (o, alternativamente, del producto de la desviación estándar de la población y la inversa de la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, que es lo mismo) y es por lo general, aproximadamente el doble de la desviación estándar: la mitad del ancho de un intervalo de confianza del 95 por ciento.
En ciencia, muchos investigadores analizan la desviación estándar de los datos experimentales, y solo los efectos que se alejan hasta dos desviaciones estándar de la media, se consideran estadísticamente significativos: el error aleatorio normal o la variación en las mediciones se distinguen de esta manera de los efectos genuinos o asociaciones probables.
Cuando solo está disponible una muestra de datos de una población, el término desviación estándar de la muestra o desviación estándar muestral puede referirse a la cantidad mencionada anteriormente aplicada a esos datos, o también a una cantidad sobre la que se realiza un ajuste que sirve de estimación no sesgada de la desviación estándar de la población (es decir, de la desviación estándar de toda la población).
Ejemplos básicos
Desviación estándar muestral de la tasa metabólica de los petreles
El libro de Murray Logan Biostatistical Design and Analysis Using R (2010) da el ejemplo siguiente:
Los naturalistas Furness y Bryant midieron la tasa metabólica en reposo de 8 petreles reproductivos y de 6 hembras. La tabla muestra el conjunto de datos obtenidos por Furness.
+ Datos obtenidos por Furness de la tasa metabólica de los petreles del norte Sexo Tasa metabólica Sexo Tasa metabólica Macho 525.8 Hembra 727.7 Macho 605.7 Hembra 1086.5 Macho 843.3 Hembra 1091.0 Macho 1195.5 Hembra 1361.3 Macho 1945.6 Hembra 1490.5 Macho 2135.6 Hembra 1956.1 Macho 2308.7 Macho 2950.0
La gráfica muestra la tasa metabólica para machos y hembras. Por simple inspección visual, parece que la variabilidad de la tasa metabólica es mayor para los machos que para las hembras.
Gráfico de las tasas metabólicas de los petreles
La desviación estándar de la muestra de la tasa metabólica para las hembras de petrel se calcula como se explica a continuación. La fórmula para calcular la desviación estándar de la muestra es
donde son los valores observados de los elementos de la muestra, es el valor medio de estas observaciones, y N es el número de observaciones de la muestra.
En la fórmula de la desviación estándar de la muestra, para este ejemplo, el numerador es la suma de las desviaciones al cuadrado de la tasa metabólica de cada animal respecto a la tasa metabólica media. La siguiente tabla muestra el cálculo de esta suma de desviaciones al cuadrado para los petreles hembra, cuya suma es de 886047.09, como se muestra en la tabla.
+ Cálculo de la suma de cuadrados para las hembras de petrel Animal Sexo Tasa metabólica Media Diferencia con la media Diferencia con la media al cuadrado 1 Hembra 727.7 1285.5 -557.8 311140.84 2 Hembra 1086.5 1285.5 -199.0 39601.00 3 Hembra 1091.0 1285.5 -194.5 37830.25 4 Hembra 1361.3 1285.5 75.8 5745.64 5 Hembra 1490.5 1285.5 205.0 42025.00 6 Hembra 1956.1 1285.5 670.6 449704.36 Media de las tasas metabólicas: 1285.5 Suma de las diferencias al cuadrado: 886047.09
El denominador en la fórmula de la desviación estándar de la muestra es N-1, donde N es el número de hembras. En este ejemplo, hay N = 6 hembras, por lo que el denominador es 6-1 = 5. Por lo tanto, la desviación estándar de la muestra para los petreles hembra, es
Para los petreles macho, un cálculo similar proporciona una muestra de desviación estándar de 894.37, aproximadamente el doble que la desviación estándar para las hembras. La gráfica muestra los datos de la tasa metabólica, las medias (puntos rojos) y las desviaciones estándar (líneas rojas) para machos y hembras.
Gráfica de desviación estándar de la tasa metabólica de los petreles
El uso de la desviación estándar de la muestra implica que estos 14 petreles son una muestra de una población mayor. Si estos 14 petreles comprendieran toda la población (si fueran los últimos 14 petreles sobrevivientes), entonces se podría hablar de la desviación estándar de la población, en lugar de la desviación estándar de la muestra. En la fórmula de la desviación estándar de la población, el denominador es N en lugar de N-1. No siempre es posible tomar medidas de una población completa, por lo que de manera predeterminada, las aplicaciones informáticas de estadística suelen calcular la desviación estándar de la muestra (es decir, dividiendo por N-1). De manera similar, los artículos de revistas se refieren a la desviación estándar de la muestra, a menos que se especifique lo contrario.
Desviación estándar poblacional de las calificaciones de ocho alumnos
Supóngase que toda la población estudiada son ocho alumnos determinados de una clase en particular. Para un conjunto discreto de datos, la desviación estándar de la población se determina calculando la raíz cuadrada de la media de las desviaciones de los valores restados de su valor promedio, elevadas al cuadrado. Las calificaciones de la clase de ocho estudiantes (es decir, de la población estadística completa) son los siguientes ocho valores:
Estos ocho datos tienen una media (promedio) de 5:
En primer lugar, se calculan las desviaciones de cada dato respecto a la media, y se eleva al cuadrado el resultado de cada una:
La varianza es la media de estos valores:
y la desviación estándar de la población es igual a la raíz cuadrada de la varianza:
Esta fórmula es válida solo si los ocho valores con los que se trabaja forman la población completa. Si los valores, en cambio, fueran una muestra aleatoria extraída de una gran población de alumnos (por ejemplo, fueron 8 calificaciones elegidas al azar e independientemente de un censo de 2 millones de alumnos), entonces el resultado se obtendría dividiendo por en lugar de por en el denominador de la última fórmula. En ese caso, el resultado de la fórmula original se denominaría la desviación estándar de la muestra. Dividir por N - 1 en lugar de por N da una estimación imparcial de la varianza de una población más grande. Esta modificación se conoce como corrección de Bessel.
Desviación estándar muestral de las edades de seis niños Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños: {4, 1, 11, 13, 2, 7}
1. Calcular el promedio o media aritmética
En este caso, n = 6:
Sustituyendo n por 6:
2. Calcular la desviación estándar
Sustituyendo n por 6: Sustituyendo por 6,33:
Desviación estándar de la estatura media de hombres adultos
Si la población estudiada tiene una distribución aproximadamente normal, la desviación estándar proporciona información sobre la proporción de las observaciones que se sitúan por encima o por debajo de ciertos valores. Por ejemplo, la estatura media de los hombres adultos en los Estados Unidos es de aproximadamente 177.8 cm, con una desviación estándar de alrededor de 7.62 cm. Esto significa que la mayoría de los hombres (alrededor del 68%, suponiendo un distribución normal) tienen una altura dentro de un intervalo de 7.62 cm alrededor de la media (entre 170.18 y 185.42 cm) y que casi todos los hombres (alrededor del 95%) tienen una altura dentro de los 15.24 cm alrededor de la media (entre 162.56 y 193.04 cm), un intervalo de dos desviaciones estándar de radio. Si la desviación estándar fuera cero, entonces todos los hombres tendrían una altura de exactamente 177.8 cm (el valor medio). Si la desviación estándar fuera de 50.8 cm, entonces los hombres tendrían alturas mucho más variables, con un rango típico de aproximadamente entre 127 y 228.6 cm. Un intervalo de tres desviaciones estándar de radio representa el 99.7% de la población de la muestra que se estudia, asumiendo que posee una distribución normal (en forma de campana). Consúltese la regla 68-95-99.7, o "regla empírica" para obtener más información.
Definición de los valores de una población Probabilidad Sea X una variable aleatoria con valor medio:
Aquí el operador E denota el promedio o la esperanza matemática de X. Entonces la desviación estándar de X es la cantidad
(deducida utilizando las propiedades de la media).
En otras palabras, la desviación estándar σ (σ) es la raíz cuadrada de la varianza de X; es decir, es la raíz cuadrada del valor promedio de (X - μ)2.
La desviación estándar de una distribución de probabilidad (de una variable) es la misma que la de una variable aleatoria que tiene esa distribución. No todas las variables aleatorias tienen una desviación estándar, ya que estos valores no siempre existen necesariamente. Por ejemplo, la desviación estándar de una variable aleatoria que sigue una distribución de Cauchy no está definida, porque su valor esperado μ no está definido.
Desviación estándar de distribuciones de probabilidad conocidas