Lebesguen–Stieltjesin integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta , missä ja ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon , , funktio kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

kaikissa pisteissä olemassa.

Olkoon . Määritellään joukkofunktio kaavalla . Tällöin on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion kanssa.

Mitallisen funktion Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla , eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina . Sille käytetään kuitenkin merkintää . Funktiota kutsutaan integrandiksi ja funktiota integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma , missä ja ovat kasvavia funktioita . Tällöin määritellään .

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen: .

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion Riemannin integraaliksi yli välin :

olettaen, että on Riemann-integroituva.

Jos on derivoituva sekä ja ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava . Jos funktiolla on epäjatkuvuuskohta pisteessä ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin .

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin , missä on tihentyvä jono välin jakoja, eli , kun .

Katso myös Odotusarvo

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral

Luokka:Integraalilaskenta