Seminormi (puolinormi) on matematiikassa, erityisesti funktionaalianalyysissä, kuin normi paitsi että sen ei tarvitse olla positiivisesti definiitti. Siis nollasta poikkeavan vektorin seminormi saa olla nolla.
Seminormit liittyvät läheisesti konvekseihin joukkoihin: jokainen seminormi on jonkin absorboivan kiekon Minkowskin funktionaali ja päinvastoin minkä tahansa tällaisen joukon Minkowskin funktionaali on seminormi.
Topologinen vektoriavaruus on lokaalisti konveksi jos ja vain jos sen topologian indusoi jokin seminormien perhe.
Määritelmä Olkoon vektoriavaruus, jonka kerroinkunta on reaaliluvut tai kompleksiluvut Reaaliarvoinen funktio on seminormi, jos se täyttää seuraavat kolme ehtoa:
Ei-negatiivisuus: kaikille Subadditiivisuus/kolmioepäyhtälö : kaikille Absoluuttinen homogeenisuus: kaikilla ja kaikilla skalaareilla
Näista kahdesta ehdosta seuraa, että .
Merkinnän sijasta seminormille käytetään usein myös merkintää ||x||.
Määritelmän mukaan normi on seminormi, joka myös erottaa pisteitä, mikä tarkoittaa, että sillä on seuraava lisäominaisuus:
Positiividefiniitti : aina kun toteuttaa ehdon on
Esimerkkejä
Triviaali seminormi indusoi minitopologian avaruuteen Olkoon mitta avaruudessa. Olkoon ja olkoon kaikkien sellaisten funktioiden joukko, joilla on määritelty ja äärellinen. Tällöin on vektoriavaruus ja funktionaali on siinä seminormi. Se ei välttämättä ole normi (esimerkiksi jos ja on Lebesguen mitta), koska , kun h on nolla jonkin nollamitallisen joukon ulkopuolella. Jos halutaan tehdä siitä normi, on otettava tekijäavaruus , missä jos ja vain jos . Näin syntyvä tekijäavaruus on normiavaruus, kun se varustetaan kuvauksen määräämällä normilla. Jos on lineaarinen funktionaali, sen itseisarvo , joka määritellään on seminormi.
Lähteet
Luokka:Lineaarialgebra