En topologie, et en particulier en topologie algébrique, le cône Ne pas confondre avec l'espace des applications continues de dans ℝ ou ℂ. d'un espace topologique est l'espace quotient :du produit de par l'intervalle unité . Intuitivement, on forme un cylindre de base et on réduit une extrémité du cylindre à un point, 51f.
Exemples Le cône construit sur un point de la droite réelle est le segment . Le cône construit sur deux points {0,1} est un "V" avec les extrémités en 0 et 1. Le cône construit sur un intervalle I de la droite réelle est un triangle plein, aussi appelé 2-simplexe (voir l'exemple final). Le cône construit sur un polygone P est une pyramide de base P. Le cône construit sur un disque est le cône solide de la géométrie classique (d'où le nom de ce concept). Le cône construit sur un cercle est la surface du cône précédent :Ce dernier est homéomorphe au disque fermé. Plus généralement le cône construit sur une n-sphère est homéomorphe à la (n+1)-boule fermée. Le cône construit sur un n-simplexe est un (n+1)-simplexe.
Propriétés
Le cône d'un espace non vide est contractile (en particulier connexe par arcs et simplement connexe), puisqu'il se rétracte par déformation sur son sommet par l'homotopie ht(x,s) = (x, (1–t)s).
Le cône est utilisé en topologie algébrique précisément parce qu'il transforme un espace en un sous-espace d'un espace contractile : .
Lorsque est compact, le cône peut être visualisé comme la réunion des segments joignant tout point de à un point unique. Cependant, cette image ne fonctionne plus si n'est pas quasi-compact ou pas séparé, car généralement la topologie quotient sur est plus fine que la topologie de la réunion des segments joignant à un point.
Si est un CW-complexe, alors aussi. Si deux espaces ont même type d'homotopie, leurs cônes aussi.
Lien avec le cône d'une application Si est une fonction continue, on définit le cône de l'application comme le quotient de la réunion disjointe par l'identification de chaque élément de avec son image dans . L'inclusion de dans est alors une cofibration.
Le cône de l'application identité de est . Celui de l'écrasement de sur un point est la suspension de .
Cône réduit Si est un espace pointé, son cône réduit est
muni de la topologie quotient et pointé par l'image, dans ce quotient, du couple . L'inclusion naturelle de l'espace pointé dans son cône respecte ce pointage.
De même que le cône d'un espace non pointé est le cône de son application identité, le cône réduit d'un espace pointé est le cône réduit de son application identité.
Foncteur Cône L'application induit un foncteur sur la catégorie des espaces topologiques. L'application continue Ne pas confondre avec le cône de l'application , décrit précédemment, qui est un espace. de vers associée à une application continue est définie par : . On a de même un foncteur sur la catégorie des espaces pointés.
Notes et références
Articles connexes Joint (mathématiques) Cylindre (topologie)
Catégorie:Topologie algébrique Catégorie:Construction topologique