Le problème à deux corps est un modèle théorique important en mécanique, qu'elle soit classique ou quantique, dans lequel sont étudiés les mouvements de deux corps assimilés à des points matérielsCeci est valable dans le cas où les dimensions des deux corps sont très petites devant leur distance au cours du mouvement. en interaction mutuelle (conservative), le système global étant considéré comme isoléCette approximation revient à négliger l'influence d'autres corps, à considération de l'importance relative de leurs actions sur chacun des deux corps. Par exemple pour le mouvement d'une planète autour du soleil, l'interaction dominante est bien sûr celle de l'étoile sur la planète, on peut négliger au moins en première approximation les effets des interactions des autres corps du système solaire tant sur le Soleil que sur la planète considérée. Toutefois il conviendra d'en tenir compte de façon perturbative pour une description plus complète.. Dans cet article, seul sera abordé le problème à deux corps en mécanique classique (voir par exemple l'article atome d'hydrogène pour un exemple en mécanique quantique), d'abord dans le cas général d'un potentiel attractif, puis dans le cas particulier très important où les deux corps sont en interaction gravitationnelle, ou mouvement képlérien, lequel est un sujet important de la mécanique céleste.
L'importance de ce problème vient en premier lieu de son caractère exactement intégrable, contrairement au problème à trois corps et plus. En effet le problème à deux corps, qui possède a priori six degrés de liberté, peut se ramener en fait à la résolution d'un problème à un corps à un seul degré de libertéEn fait, à deux problèmes à un corps indépendants, mais le mouvement du centre d'inertie est trivial..
Par ailleurs, les résultats obtenus permettent de rendre compte des trajectoires des planètes dans le système solaire (dans le référentiel héliocentrique) ainsi que celle de leurs satellites naturels ou artificiels, au moins en première approximation. On retrouve alors les lois de Kepler, mises en évidence par l'analyse des observations astronomiques dès le début du . Ainsi, la situation envisagée est loin d'être purement académique. La première résolution de ce problème a été exposée par Newton, qui a énoncé la loi fondamentale de la mécanique classique : le résultat est annoncé dans les propositions 57 à 65 de ses Principia.
Cet article a pour objet l'exposé et le traitement général du problème à deux corps, avec la démonstration des lois de Kepler et l'étude détaillée des différents types de trajectoire envisageables. La question de la détermination des éléments d'orbite ainsi que les équations de Kepler et de Barker et leurs applications font l'objet d'articles séparés (cf les articles mouvement képlérien, équation de Kepler et éléments d'orbite).
Situation envisagée et notations Le problème à deux corps est celui de deux corps de masse m et m, assimilés à des points matériels M et M, respectivement, en interaction mutuelle. La force exercée par M sur M dérive d'un potentiel attractif V(r) et est notée : du fait de la troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques) il est évident que .
Le système global étant considéré comme isolé, il s'agit d'étudier le mouvement de M et M par rapport à un référentiel (R) supposé galiléen, dont le repère d'espace associé a pour origine O.
Les notations suivantes sont adoptées par la suite : , , et .
Les équations du mouvement dans (R) de chacun des corps s'écrivent alors, en utilisant la relation fondamentale de la dynamique :
, (1).
La stratégie de résolution du problème est alors la suivante : tout d'abord se ramener à l'étude du mouvement d'un seul corps, en introduisant la notion de particule fictive ; ensuite, se ramener à un problème à une seule dimension, facilement résoluble.
Réduction à un problème à un corps Le fait que le système soit isolé permet de séparer le mouvement trivial de son centre d'inertie de celui d'un corps par rapport à l'autre et en fait de se ramener à l'étude du mouvement d'une seule particule, dite fictive.
Conservation de la quantité de mouvement - référentiel barycentrique L'addition des deux équations du mouvement donne aussitôt :
, avec C centre de masse du système, de vecteur position .
Par suite, et comme cela était attendu pour un système isolé, le mouvement du centre de masse C dans (R) est rectiligne et uniforme (ou à la limite, au repos), et il est possible de se placer dans le référentiel du centre de masse (Rc) (qui sera galiléen, du fait du mouvement rectiligne et uniforme du corps auquel il est lié, (R) étant supposé galiléen), dit barycentrique, pour réécrire les équations du mouvement précédentes.
Introduction de la notion de particule fictive
En posant il est possible d'écrire : (2).
Il suffit de prendre la différence entre les deux équations du mouvement (1), et de tenir compte du caractère galiléen du référentiel barycentrique qui implique , pour obtenir :
Cette équation est en fait celle du mouvement d'un seul corps, à trois degrés de liberté : , avec , masse réduite du système, et .
Dans le référentiel barycentrique le problème se ramène donc au mouvement d'une particule dite fictive, de masse μ et de rayon-vecteur , les trajectoires des corps M et M se déduisant par homothétie, d'après les formules précédentes sur .
Il convient de remarquer que dans le cas particulier important où l'un des corps a une masse beaucoup plus importante que le second (corps central, généralement une étoile, ou une « grosse » planète), par exemple si , le centre de masse du système est pratiquement confondu avec ce corps central, et la masse réduite est pratiquement égale à celle de l'autre corps, . cette approximation est toutefois relativement peu précise pour le mouvement de la Lune, qui dans le système solaire possède la plus forte masse relative d'un satellite par rapport à sa planète (rapport de 1/81).
Intégrale première du moment cinétique - Planéité de la trajectoire - Loi des aires
Dans le cas particulier très important d'une force centrale, on a avec , le théorème du moment cinétique au centre de force noté O s'écrit : , ce qui implique .
Physiquement, cela impose que le vecteur position et le vecteur vitesse de la particule fictive soient à tout instant perpendiculaires à un vecteur constant : la trajectoire de M est donc planePar homothétie, il en est bien sûr de même de celles des particules réelles M1 et M2.Toutefois, si , le mouvement est dit dégénéré et se réduit à une droite, la notion de planéité de la trajectoire n'a aucun sens, le problème est donc à deux degrés de liberté.
Dans le plan de la trajectoire, défini comme celui généré par et , il est judicieux de se placer en coordonnées cylindro-polaires d'axe la direction Oz de , avec θ angle entre et , il vient : , par suite : (3).
Or l'aire élémentaire balayée par le rayon-vecteur pendant dt est donnée par : . La vitesse aréolaire est donc constante pour la particule fictive (il en est de même par homothétie pour les corps réels) :
, avec , la constante des aires.
Par suite, le rayon vecteur de chaque particule balaie des aires égales en des temps égaux. Cette propriété est en fait valable pour tout mouvement à force centrale. De par l'expression de C, il est facile de voir que la vitesse angulaire de la particule fictive est inversement proportionnelle au carré de la distance r, et est donc maximale quand celle-ci est minimale, soit au périastre dans le mouvement képlérien - cf. infra.
Remarques Un mouvement circulaire uniforme est un cas simple de mouvement obéissant à la loi des aires. L'expression de L implique que la vitesse angulaire instantanée ne change jamais de signe le long de la trajectoire : en quelque sorte, la particule fictive, et donc les deux corps « réels » « tournent » toujours dans le « même sens » sur leurs trajectoires. Si L=0, le mouvement est rectiligne : ce cas particulier (dit dégénéré) sera exclu par la suite.
Intégrale première de l'énergie - potentiel effectif
Le mouvement étant conservatif puisque la force dérive d'une énergie potentielle V(r), l'énergie totale est une intégrale première du mouvement : , or , soit en utilisant l'expression de la valeur du moment cinétique L : , (4), avec potentiel effectif.
Finalement le problème se ramène à l'étude du mouvement d'un seul corps à un seul degré de liberté r. Ceci est toujours valable dans le cas du problème à deux corps, quelle que soit la nature du potentiel d'interaction.
Résolution analytique D'après (4), il est possible d'exprimer la vitesse radiale , il vient : .
Il est alors possible de séparer les variables, et d'intégrer entre deux instants t et t, auxquels correspondent respectivement les positions radiales r et r, pour obtenir : , (4bis).
Ceci correspond, de façon implicite, à l'équation horaire .
Compte tenu de (4), il est alors possible d'obtenir une expression similaire pour θ : , (4ter).
Ces deux expressions sont, en pratique, difficiles à utiliser. Elles permettent toutefois de discuter qualitativement de la nature des mouvements possibles.
Étude qualitative des mouvements possibles Dans l'expression de , le terme , toujours positif, correspond à une barrière centrifuge. Le potentiel V(r) étant supposé : attractif : on a donc V(r) monotone croissant pour tout r ; régulier en l'origine : c'est-à-dire , et donc le terme en domine quand .
Bien que cela ne soit pas indispensable, dans la suite V(r) sera également supposé borné à l'infini, soit avec un choix judicieux de l'origine des potentiels, . Par convention V(r) < 0Cette dernière condition n'est pas absolument nécessaire, on obtient également une cuvette de potentiel, certes infinie, avec un potentiel spatial harmonique de la forme avec k>0, mais cet exemple ne sera pas considéré ensuite..
Avec ces conditions, valables pour les potentiels physiques usuels, le potentiel effectif présente un minimum absolu unique, noté pour tel que , et possède donc une cuvette de potentiel (cf. figure ci-contre, avec un potentiel newtonien). thumb|alt=alternative à l'image|Allure de la courbe du potentiel effectif U(r) avec les contributions des différents termes.
Par ailleurs, on a que, d'après l'expression de H : , les valeurs de r permises doivent être telles que .
Il est dès lors possible d'envisager qualitativement les cas suivants (L étant non nul) :
Énergie totale H>0 : puisque quand , cette condition est vérifiée pour toute valeur de avec r distance minimale d'approcheCette distance minimale d'approche correspond à une vitesse radiale nulle à distance finie. telle que . La particule fictive peut donc aller à l'infini avec une vitesse radiale positive, égale à À l'infini, la vitesse est purement radiale : en effet, le terme orthoradial est celui en , et donc tend vers 0 à grande distance..
Énergie totale H = 0 : cas limite où la particule peut aller à l'infini, mais avec une vitesse radiale nulle, d'après la formule précédente, la distance minimale d'approche étant telle que , soit .
Énergie totale : dans ce cas, la particule est confinée dans une région précise de l'espace, comprise entre les deux valeurs de r telles que (points d'arrêt). La vitesse radiale s'annule à chacun de ces points, toutefois ce n'est pas le cas de la vitesse angulaire instantanée (cf. expression de H et remarques à son sujet). Du fait du confinement du mouvement, la durée Δt pour que r varie de r à r peut être obtenue aisément en utilisant l'expression intégrale donnant t. Comme l'invariance dans le temps du hamiltonien implique que cette durée sera la même pour aller de r à r, le mouvement radial est donc périodique de période T donnée par : , et en une période radiale où l'angle θ varie de la quantité Δθ, donnée par l'expression intégrale de θ :
.