En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Binet–Cauchy, due à Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, s'écrit :
pour des familles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier où et , elle se réduit à l'identité de Lagrange.
Relation avec l'algèbre extérieure Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur, l'identité peut s'écrire
où sont des vecteurs à coordonnées. On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :
Dans le cas particulier de vecteurs égaux ( et ), la formule devient (identité de Lagrange) , dont on peut déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz .
Démonstration vignette|Augustin-Louis Cauchy en 1901. Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :
, ce qui permet de regrouper ainsi :
Factorisant les termes indexés par , l'identité en résulte.
Généralisation Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy, dit que, si est une matrice et est une matrice , on a
où, étant une partie à éléments de , est la matrice dont les colonnes sont celles de ayant leurs indices dans , et de même est la matrice formée des lignes de d'indices dans ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.
L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant
Notes et références
Catégorie:Identité mathématique Catégorie:Augustin Louis Cauchy