Constante de Planck

La constante de Planck, découverte par Max Planck en 1900, et qu'il appelait « quantum élémentaire d'action » est une constante physique dont l'introduction contribua à « bouleverser les bases mêmes de la pensée physique » : L'échec de toutes mes tentatives pour sauter l'obstacle me rendit bientôt évident le rôle fondamental joué par le quantum élémentaire d'action dans la physique atomique, et que son apparition ouvrait une ère nouvelle dans les sciences de la nature. Car elle annonçait l'avènement de quelque chose d'entièrement inattendu et elle était destinée à bouleverser les bases mêmes de la pensée physique, qui depuis la découverte du calcul infinitésimal s'appuyaient sur l'idée que toutes les relations causales sont continues. au début du , en révélant une discontinuité fondamentale au sein de la matière.

Cette constante, notée , est une constante universelle, non relative, qui a la même dimension qu'une énergie multipliée par une durée. Elle joue un rôle central en mécanique quantique, car elle est le coefficient de proportionnalité fondamental qui relie l'énergie d'un photon à sa fréquence () et sa quantité de mouvement à son nombre d'onde () ou, plus généralement, les propriétés discrètes de type corpusculaires aux propriétés continues de type ondulatoire (dualité onde-corpuscule)Jean-Marc Levy-Leblond, Alain Laverne, article "Mécanique quantique", Encyclopedia Universalis Les relations de Planck-Einstein () et de De Broglie () lient des propriétés de type corpusculaire (énergie et quantité de mouvement d'entités discrètes) à des propriétés de type ondulatoire (périodicités spatio-temporelles). Plus précisément, elles permettent de cerner le domaine de validité approximative de ces concepts. C'est là l'un des rôles essentiels des fameuses relations de Heisenberg, dites encore relations d'incertitude..

Sa valeur, fixée par convention depuis le , est désormais à la base de la définition du kilogramme.

Présentation

Historique

Cette constante a été initialement introduite par Max Planck dans l'étude de la radiation du corps noir, comme rapport de proportionnalité entre l'incrément minimal d'énergie E d'un oscillateur électriquement chargé et la fréquence f de l'onde électromagnétique associée. Cette formulation, avec la notion d'incrément minimal, était au départ, pour Planck, une hypothèse formelle, à laquelle selon ses propres termes, il n'avait pas beaucoup réfléchihttps://en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant#cite_note-12 , mais qui présentait l'intérêt de modéliser fidèlement la réalité observée. Par la suite, en 1905, cet incrément quantifié d'énergie a été relié par Albert Einstein à un quantum de l'onde électromagnétique elle-même, ce quantum lumineux se comportant parfois comme une particule électriquement neutre et non comme une onde électromagnétique. Ce quantum fut finalement dénommé le photon. La relation ainsi mise en évidence par Planck et Einstein relie l'énergie E d'un photon avec sa fréquence f ou sa fréquence angulaire ω :

L'énergie en question, de l’ordre de pour un photon de lumière visible, est extrêmement petite par rapport aux ordres de grandeur des énergies quotidiennes.

Dans de nombreux cas, la quantification de l'énergie implique que seuls certains niveaux d'énergie sont autorisés, et les valeurs intermédiaires ne peuvent pas être atteintesThe question is first: How can one assign a discrete succession of energy value to a system specified in the sense of classical mechanics (the energy function is a given function of the coordinates and the corresponding momenta )? The Planck constant relates the frequency to the energy values . It is therefore sufficient to give to the system a succession of discrete frequency values..

Cette constante a joué un rôle primordial dans le modèle de l'atome d'hydrogène, proposé en 1913 et connu à présent sous le nom de modèle de Bohr afin d'expliquer la présence des raies spectrales qui traduisent le fait que les fréquences du mouvement de l'électron autour du noyau central ne sont pas quelconques, et de même que l'énergie correspondante est parfaitement bien déterminée. Niels Bohr admit qu'un électron sur des orbites stationnaires ne peut pas émettre un rayonnement, contrairement à ce qui était soutenu en électromagnétique classique. Il émit l'hypothèse qui devint la première condition de quantification de Bohr, à savoir que l'action de la quantité de mouvement sur une orbite complète est un multiple entier de (constante de Planck). Cette idée est également connue comme l'« hypothèse quantique de Planck ». On aFaisant suite à la découverte de Planck, il fut reconnu que d'une manière générale l'action d'un système physique ne pouvait pas prendre n'importe quelle valeur, mais était également quantifiée par un quantum d'action à présent dénommé constante de Planck. Cette approche correspond à la première interprétation de la mécanique quantique, développée par Bohr et Sommerfeld, pour laquelle les particules existent et ont des trajectoires, mais possèdent aussi des variables cachées contraintes par les lois de la mécanique quantique. Cette interprétation est à présent désuète, remplacée par une approche où la notion même de trajectoire n'existe plus, et où toutes les particules sont représentées par une fonction d'onde s'étendant dans l'espace et le temps : cette approche ne permet plus de définir l'action de chaque particule au sens classique du terme.

Plus généralement, en 1924, l'hypothèse de De Broglie sur la dualité onde-corpuscule généralise cette relation à une particule quelconque (et non plus uniquement le photon) en reliant la quantité de mouvement d'une particule et sa longueur d'onde par une équation simple : Cette hypothèse sera confirmée expérimentalement peu de temps plus tard, posant ainsi les bases de la mécanique quantique.

Constante réduite L'hypothèse de de Broglie conduisit Erwin Schrödinger à proposer en 1925 que l'évolution d'une particule de masse m dans un champ d'énergie potentielle est décrite par une fonction d'onde qui associe à chaque point de l'espace un nombre complexe (analysable en un module et une phase) et qui satisfait à l'équation suivante :

L'amplitude de la fonction d'onde normalisée est une distribution de probabilité : le carré de la fonction d'onde donne la probabilité de mesurer la présence de la particule au point ; et la phase quantique est une rotation pure dans le plan complexe, dont la fréquence de rotation dépend de l'énergie cinétique de la particuleChristoph Schiller, Motion Mountain vol. 4, ..

Si par exemple l'hamiltonien de la particule ne dépend pas explicitement du temps, la fonction d'onde peut se décomposer en une fonction de l'espace et une fonction du temps. Une résolution par séparation des variables montre que l'équation est alors de la forme : avec

De ce fait, dans de nombreux cas, en mécanique quantique, il est plus naturel de parler de la fréquence angulaire que de la fréquence proprement dite, c'est-à-dire d'exprimer la fréquence en radians par seconde et non en hertz (ce qui correspond à la vitesse de rotation de la phase dans l'espace réciproque). Dans ces formules, il est le plus souvent utile d'absorber le facteur 2π dans la constante elle-même, ce qui conduit à utiliser la constante de Planck réduite (ou constante de Dirac), égale à la constante de Planck divisée par 2π, et notée (h-barre) :

L'énergie d'un photon de fréquence angulaire ω=2πf s'écrit alors :

De même, le moment cinétique est alors relié au nombre d'onde par :

Ces deux relations sont les composantes temporelles et spatiales d'une formule de relativité restreinte portant sur des quadrivecteurs :

Caractérisation

Valeur

Lors de sa réunion, le , la Conférence générale des poids et mesures (CGPM) a décidé qu'à compter du Résolution CGPM, dans le Système international d'unités (SI), la constante de Planck, h, serait strictement égale à

ceci afin de définir le kilogramme à partir de cette constante.

Une grandeur associée est la « constante de Planck réduite » ou « constante de Dirac », notée et prononcée « h barre » : Valeur en joules secondes : . Valeur en électrons-volts-secondes : ,

Valeur en MeV-femtomètres : .

Dimension

En analyse dimensionnelle, la constante de Planck est homogène à une action. Sa dimension est . Dans sa formulation initiale, la constante apparaît comme le rapport d'une énergie (en joules) par une fréquence (en hertz), donc de dimension . La constante de Planck possède ainsi les dimensions d’une énergie multipliée par le temps. Il est également possible d’écrire ces unités sous la forme d’une quantité de mouvement multipliée par une longueur.

De son côté, la constante réduite apparaît comme le rapport d'une énergie (en joules) par une fréquence angulaire (en radians par seconde), et s'exprime donc en . Malgré l'identité des unités, ce n'est cependant pas physiquement un moment angulaireConstante de Planck, Formules de physique., qui a un caractère pseudo-vectoriel, et dont la multiplication par une vitesse de rotation donne une énergie cinétique de rotation. C'est la constante par laquelle l'énergie (un scalaire d'orientation ) est divisée pour trouver la vitesse de rotation équivalente de la phase quantique.

Incertitude Depuis le , la constante de Planck est fixée par convention à la valeur de (ou ) exactement.

Avant sa fixation par la CGPM, elle était l'une des constantes physiques pour laquelle l'incertitude était la plus grande, une incertitude relative de : elle n'était dépassée sur ce plan que par la constante de Boltzmann () et la constante gravitationnelle (), et bien sûr la constante cosmologique très largement hors concours. Cette incertitude sur la constante de Planck était à son tour un facteur d'incertitude sur d'autres constantes physiques dans la détermination desquelles elle intervient :

la masse de l'électron, déterminée grâce à la mesure de la constante de Rydberg ; la charge élémentaire, déterminée grâce à la mesure de la constante de structure fine ; le magnéton de Bohr, défini à partir de la charge et de la masse de l'électron ; le nombre d'Avogadro, qui était déterminé à partir de la masse de l'électron dans un piège à ions de Paul ou de Penning (Il est désormais fixé par convention à la valeur de , exactement.)

Mesure

En théorie, la constante de Planck pourrait être calculée à partir du spectre d'émission d'un corps noir, et c'est cette donnée physique qui en a fourni la première estimation faite par Planck.

Les mesures les plus précises se fondent actuellement sur la balance de Kibble (anciennement appelée balance du watt, elle fait intervenir les constantes de l'électron, et présuppose que la théorie sur l'effet Josephson et l'effet Hall quantique entier est correcte) et sur la mesure de la densité d'un cristal par diffraction de rayons X (qui fait intervenir le nombre d'Avogadro). La difficulté de la mesure est illustrée par le fait que ces deux méthodes ne donnent pas des résultats compatibles, sans que l'on puisse déterminer laquelle des deux est moins précise qu'attendu.

Un des enjeux d'une mesure précise de la constante de Planck a été de pouvoir donner au kilogramme une définition ne dépendant plus d'un artefact, l'ancien kilogramme étalon détenu au Pavillon de Breteuil. Dans la mesure où l'incertitude sur la conservation de cet étalon est devenue progressivement supérieure à celle sur la constante de Planck, il devient plus précis de mesurer la masse d'un kilogramme à partir d'une valeur conventionnellement fixée de la constante de Planck (comme c'est déjà le cas pour la vitesse de la lumière), par l'une ou l'autre des méthodes ci-dessus. C'est désormais le cas depuis .

Interprétation physique

Quantum d'action