vignette|Attracteur de deux similitudes et .
En mathématiques, un système de fonctions itérées (SFI ou encore IFS, sigle du terme anglais ) est un outil pour construire des fractales. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale autosimilaire faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système.
La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980 (p. 714) : .. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI.
Définition
Un SFI est une famille de fonctions contractantes dans un espace métrique complet ...
On définit à partir des une nouvelle fonction , elle aussi contractante sur , l'ensemble des parties compactes de muni de la distance de Hausdorff , par l'expression , appelée opérateur de Hutchinson de .
L'espace métrique est complet. Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un point fixe de , c'est-à-dire une partie compacte de fixe par . On l'appelle attracteur du SFI et on le note .
Remarques :
En pratique, pour construire l'attracteur, on choisit un compact quelconque , par exemple un point, et on considère la suite , autrement dit l'orbite de . Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact , vers . C'est de là que vient le terme ditéré. Les fractales les plus connues (Ensemble de Cantor, Triangle de Sierpiński, Flocon de Koch) sont obtenues à partir de systèmes de fonctions affines.... On appelle flammes fractales des fractales obtenues à l'aide de systèmes de fonctions non affines..
Exemple Considérons les deux homothéties définies sur par . Les deux ont pour rapport . La première a pour centre et la deuxième . , l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors . La famille de contractions est ici et en est l'attracteur.
Caractère d’auto similarité vignette|le triangle de Sierpinski, forme de fractale en triangle obtenu à partir d'un seul triangle. En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet des compacts non vides de , muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, est lui-même un espace compact non vide de , c'est-à-dire un fermé borné.
est une fractale autosimilaire. En effet, à partir de la définition de , l'égalité se réécrit . Cette égalité traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski....) : l'attracteur s'obtient comme réunion de copies de lui-même, contractées et translatées, expliquant son autosimilarité. Dans le cadre des SFI, on peut exploiter ce résultat, notamment pour calculer les dimensions de Hausdorff des attracteurs. Cette relation est introduite par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980.
Géométrie des attracteurs Soit un attracteur, où les sont injectives, et un compact.
(i) On suppose que . Alors est totalement discontinu.
(ii) On suppose que . Alors est connexe.
Par exemple, l'ensemble triadique de Cantor est totalement discontinu.
Dimension de la fractale
De la construction du SFI à l'aide de fonctions affines, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application est contractante de rapport , et que (||) est disjoint de (||), pour tous distincts, alors la dimension de est le réel vérifiant :
Une riche source de fractales C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant. :
Exemples Le cas fournit le disque unité.
Le cas fournit l'ensemble de Julia associé, noté. . On peut prendre pour le carré de centre 0 et de côté 4.
On a, de façon générale, . Autrement dit, est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de , où l'on appelle, p.80. orbite d'un point la suite .
Exemples d'attracteurs classiques
L'ensemble de Cantor
Le tapis de Sierpiński, défini par 8 similitudes de rapports 1/3. La fougère de Barnsley, construite à partir de quatre contractions affines (rouge, bleu, cyan et vert sur l'illustration). La courbe de Takagi, attracteur d'une paire de contractions affines qui sont des composées de transvection avec une homothétie de rapport 1/2.. La courbe de Koch et la courbe de Cesaro. L'escalier du diable. La courbe de Hilbert.. La courbe de Lévy La courbe du dragon L'éponge de Menger Un arbre fractal.
Références
Voir aussi Articles connexes Jeu du chaos, une version simplifiée proposée par Barnsley.
Liens externes Logiciels Apophysis, générateur de fractales supportant des fonctions non linéaires. Glito, programme libre permettant d'explorer les SFI de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia). Générateur de SFI en ligne, proposant des systèmes de fonctions itérées classiques, et permettant également de créer des SFI inédits.
Bibliographie
Catégorie:Fractale Catégorie:Itération