vignette|Tracé de la fonction f(x) = x^2 - 4 (à gauche), de sa partie positive (droite, en vert) et négative (à droite en rouge). En mathématiques, à toute fonction réelle , on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive et sa partie négative , définies respectivement par :
Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.
Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.
Relations avec la fonction initiale Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :
À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par :
Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est :
La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.
Partie positive et partie négative d'un réel La partie positive et la partie négative d'un nombre réel sont les deux réels positifs définis par :
On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions :
ainsi que :
Les parties positive et négative d'une fonction sont donc simplement ses composées par les applications et respectivement.
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