En théorie des nombres, la constante de Khintchine est la limite, pour presque tout nombre irrationnel, de la moyenne géométrique des premiers coefficients du développement en fraction continue de ce nombre. C'est un résultat démontré par Alexandre Khintchine..

On a donc, pour presque tout : .

Parmi les irrationnels qui n'ont pas cette propriété se trouvent par exemple la racine carrée de 2, celle de 3, le nombre d'orEn effet, pour un irrationnel quadratique, le développement en fraction continue est périodique de longueur à partir d'un certain rang, et donc la moyenne géométrique de ses coefficients est égale à la moyenne géométrique des coefficients, qui, dans ces trois cas, n'est pas égale à la constante de Khintchine : , , , et . et le nombre En effet, le développement en fraction continue de est donc d'après la formule de Stirling, la moyenne géométrique de ses premiers coefficients est équivalente à , qui tend vers ..

Parmi les irrationnels qui (si tant est que ces deux dernières soient irrationnelles, ce qu'on ignore). Néanmoins, ces énoncés ne sont pas démontrés. On ne sait pas si K est rationnel, algébrique, ou transcendant.

La constante possède l’expression sous forme de produit infini : , et a pour développement décimal : Suite de l'OEIS..

Idée de la démonstration La preuve qui suit est de . et est bien plus simple que la preuve originale de Khintchine qui n'utilisait pas la théorie ergodique.

Remarquant que le coefficient a0 de la fraction continue de ne joue pas de rôle, et que les nombres rationnels sont de mesure nulle, on se ramène à montrer la propriété sur . Soit définie par

.

La transformation est un opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing. Pour tout borélien E de , on définit de plus une mesure de Gauss-Kuzmin sur E

.

Alors μ est une mesure de probabilité sur la tribu borélienne de . La mesure μ est équivalente à la mesure de Lebesgue sur , mais préserve la mesure μ. De plus, on peut montrer que est une transformation ergodique de l'espace mesurable muni de la mesure de probabilité μ (c'est la partie difficile). Le théorème ergodique implique alors que pour toute fonction μ-intégrable f sur , la valeur moyenne de est la même pour presque tout :

.

En appliquant cela à f([a1, a2, ...]) = ln(a1), on obtient

pour presque tout [a1, a2, ...] dans , ce qui conclut.

Autres expressions La constante de Khintchine peut être exprimée sous la forme. Dans cet article, une définition légèrement non standard de la fonction zêta de Hurwitz est utilisée.

,

ou encore

où est un entier, et ζ(s, n) la fonction zêta de Hurwitz complexe. Une expression de la constante en fonction du dilogarithme :

Généralisation aux moyennes de Hölder On peut généraliser le résultat précédent en remplaçant la moyenne géométrique par une moyenne de Hölder d'ordre pour tout réel non nul < 1 : pour presque tout irrationnel, la moyenne d'ordre des premiers coefficients du développement en fraction continue tend vers une constante ayant pour valeur . ..

La valeur de est obtenue en faisant tendre vers 0.

Dans le cas = -1, la moyenne de Hölder est la moyenne harmonique, qui conduit à la constante

(). On trouvera dans les valeurs, avec leur lien dans l'OEIS, des constantes pour entier négatif.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Liens externes

Pages connexes Théorème de Lochs Constante de Lévy Constante de récurrence quadratique de Somos Liste de constantes mathématiques

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