En géométrie, un pentagone est un polygone à cinq sommets, donc cinq côtés et cinq diagonales.
Un pentagone est soit simple (convexe ou concave), soit croisé. Le pentagone régulier étoilé est le pentagramme.
Étymologie Le terme « pentagone » dérive du latin de même sens, substantivation de l'adjectif , lui-même emprunté au grec ancien, (pentágônos), « pentagonal », « qui a cinq angles, cinq côtés ». Le terme grec est lui-même construit à partir de (pénte), « cinq », et (gônía), « angle ».
Le terme grec apparaît dans le livre IV des Éléments d'Euclide, probablement écrit vers 300 , qui traite des figures inscrites ou circonscrites, en particulier des polygones réguliers.
Généralités Pentagones quelconques La somme des angles internes d'un pentagone simple (dont les arêtes ne se croisent pas) est égale à 540°. Cette égalité n'est pas vérifiée si le pentagone n'est pas simple.
Pentagones inscriptibles Un pentagone inscriptible est un pentagone pour lequel existe un cercle circonscrit, passant par ses cinq sommets.
L'aire d'un pentagone inscriptible peut être exprimée comme la racine carrée de l'une des racines d'une dont les coefficients sont fonction des côtés.
Un pentagone inscrit dont les arêtes et l'aire sont des nombres rationnels est appelé pentagone de Robbins. Les longueurs de ses diagonales sont soit toutes rationnelles, soit toutes irrationnelles ; on conjecture qu'elles doivent être toutes rationnelles.
Deux pentagones réguliers thumb|Pentagramme inscrit dans un pentagone régulier convexe. thumb|Pentagone obtenu en faisant un demi-nœud avec une feuille rectangulaire.
Un pentagone régulier est un pentagone dont les cinq côtés sont de même longueur et dont les cinq angles internes sont de même mesure. Il en existe deux types : le pentagone régulier convexe, généralement appelé simplement « pentagone régulier » ; le pentagone régulier étoilé, ou pentagramme, en forme d'étoile à cinq branches.
Les diagonales d'un pentagone régulier convexe de côté forment un pentagramme de côté , où est le nombre d'or.
Il est possible de construire les deux pentagones réguliers à la règle et au compas. De nombreuses méthodes existent, l'une d'elles étant déjà connue d'Euclide au
Une méthode par pliage simple permet de construire un pentagone régulier : il suffit de prendre une bande de papier suffisamment longue, d'initier une boucle, d'y passer une extrémité et de serrer en ajustant.
thumb|left|Symbole pentagonal
Relation de Monge et formule de Gauss pour l'aire d'un pentagone convexe vignette|Un pentagone convexe et ses 10 triangles inclus. En 1823, Gauss publie une formule donnant l'aire d'un pentagone convexe en fonction des aires de ses 5 "triangles latéraux".
Cette formule peut se déduire d'une relation due à Monge entre les aires de triangles inclus.
Étant donné un pentagone convexe , et désignant l'aire d'un triangle , on note , etc., les aires des 5 "triangles latéraux".
Relation de Monge La relation de Monge pour le sommet , faisant intervenir les 6 triangles (3 latéraux et 3 centraux) passant par , s'écrit :
.
Notant les angles , et utilisant les 3 formules d'aire , etc., après division par , la relation de Monge équivaut à , ce qui se démontre par utilisation des formules de trigonométrie.
La relation de Monge, aussi appelée "identité aréolaire du pentagone", est valable pour un pentagone quelconque à condition de prendre les aires algébriques.
On verra dans que la relation de Monge a pour conséquence simple la relation de Ptolémée pour un quadrilatère inscriptibleSupposant le pentagone inscrit dans un cercle de rayon , on remplace dans la relation de Monge par , et en simplifiant par , on obtient la relation de Ptolémée ..
Formule de Gauss pour l'aire du pentagone convexe On pose .
L'aire d'un pentagone convexe est donnée par la plus grande racine du polynôme :
.
On a :
Si on développe , on obtient exactement .
Les solutions sont . Or les triangles latéraux se chevauchent par 2 au maximum ; donc et .
Application Un pentagone convexe dont les aires des triangles latéraux sont égales (à ) a pour aire , où est le nombre d'or, en application directe de la formule de Gauss.
En particulier, le pentagone régulier convexe de côté a pour aire .
Usages
Graphes Le graphe complet K5 est souvent dessiné sous forme d'un pentagramme inscrit dans un pentagone régulier convexe. Ce graphe représente également la projection orthogonale des 5 arêtes et 10 sommets du pentachore, un polytope régulier convexe en dimension quatre.
Pavages
Il n'est pas possible de paver le plan euclidien par des pentagones réguliers convexes. Il est en revanche possible de le paver par des pentagones quelconques. En 2015, on connait 15 types de pavages pentagonaux isoédriques, c'est-à-dire employant un même type de tuile. On ignore s'il en existe d'autres.
Polyèdres Il existe plusieurs polyèdres dont les faces sont des pentagones : le dodécaèdre régulier comporte 12 pentagones réguliers convexes ; il s'agit d'un solide de Platon ; le pyritoèdre possède 12 faces pentagonales identiques, mais pas forcément régulières ; l'icositétraèdre pentagonal est constitué de 24 faces pentagonales irrégulières ; c'est un solide de Catalan ; l'hexacontaèdre pentagonal, comportant 60 faces pentagonales irrégulières ; c'est également un solide de Catalan ; le , troncature d'un trapézoèdre à faces, comporte pentagones. Le trapézoèdre pentagonal tronqué, issu d'un trapézoèdre pentagonal, est entièrement constitué de 12 pentagones. S'il est régulier, c'est un dodécaèdre régulier.
Notes et références
Voir aussi
Dodécaèdre, polyèdre dont la forme régulière convexe est constituée de 12 faces pentagonales Nombre pentagonal Table de lignes trigonométriques exactes Aire algébrique d'un polygone
Catégorie:Polygone