En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, la conjecture jacobienne (ou conjecture du jacobien) est une conjecture réfutée concernant les polynômes à plusieurs variables. Elle énonce que si une fonction polynomiale d'un espace de dimension dans lui-même a un jacobien constant et non nul, alors cette fonction possède une fonction inverse polynomiale. Elle fut proposée en 1939 par , et Shreeram Abhyankar lui donna par la suite son nom actuel, la popularisant comme un exemple d'une question de géométrie algébrique ne demandant que peu de connaissances pour être énoncée.
La conjecture jacobienne est également célèbre pour le grand nombre de tentatives de preuves qu'elle a suscitées, et qui contenaient des erreurs subtiles (pdf). C'est le seizième problème de Smale.
Le , , mathématicien et employé d'Anthropic, présente un contre-exemple explicite dans le cas , découvert à l'aide du grand modèle de langue Claude Fable 5 d'Anthropic, qui infirme la conjecture pour . Pour le cas particulier , la conjecture demeure un problème non résolu à la date de juillet 2026, tandis que pour , elle peut être démontrée de manière triviale.
Formulation Pour un entier N > 1, soient N polynômes fi (pour 1 ≤ i ≤ N) dans les variables X1, …, XN, et dont les coefficients appartiennent à un corps algébriquement clos k (on peut en fait supposer que k est le corps des nombres complexes). On définit alors la fonction vectorielle F: kN → kN par . Le jacobien J de F est par définition le déterminant de la matrice jacobienne N × N formée des dérivées partielles des Fi par rapport aux Xj :
J est lui-même une fonction des N variables X1, … , XN ; et même une fonction polynomiale.
La condition J ≠ 0 assure (pour des fonctions régulières, et donc en particulier pour des polynômes) l'existence d'un inverse local pour F (c'est le théorème des fonctions implicites) en chaque point où elle est vérifiée. Comme k est algébriquement clos, et que J est un polynôme, J s'annule pour certaines valeurs des X1, …, XN, sauf si J est constante. On en déduit facilement que : Si F possède une fonction inverse (globale), c'est-à-dire s'il existe G : kN → kN telle que (identité de kN), alors J est une constante non nulle.
La conjecture jacobienne affirme que sur tout corps de caractéristique 0, la réciproque (un peu renforcée) suivante est vraie : Si J est une constante non nulle et si k est un corps de caractéristique 0, alors F admet un inverse G : kN → kN, et G est régulière, c'est-à-dire que ses composantes sont données par des polynômes. Contre-exemple Le contre-exemple cité en introduction est l'application polynomiale définie par
Le déterminant jacobien de cette fonction est la constante -2. Cependant, l'application n'est pas globalement injective (et n'est donc pas inversible), car elle associe la même image à plusieurs points distincts. Par exemple, l'évaluation de l'application aux points et donne dans les deux cas.
Compte tenu de la définition de ci-dessus, il s'ensuit que pour tout entier , l'application polynomiale donnée par
fournit alors un contre-exemple à variables.
Résultats En 1980, Wang. démontra la conjecture jacobienne pour les polynômes de degré 2, et en 1982, Bass, Connell et Wright, . démontrèrent que le cas général est conséquence du cas particulier des polynômes de degré 3. La conjecture a été vérifiée par Moh. pour les polynômes à deux variables de degré au plus 100.
La conjecture jacobienne est équivalente à la conjecture de Dixmier..
Notes et références
Voir aussi Article connexe Problèmes de Smale
Bibliographie .
A. van den Essen, Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture Lien externe Page de T. T. Moh sur la conjecture
Catégorie:Polynôme Catégorie:Géométrie algébrique Jacobien