vignette|Table d'équivalence entre le système de numération de Kaktovik (utilisant une base 20) et le système décimal. Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire plusieurs numérations données. De façon plus explicite, c'est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer les nombres, ces derniers étant nés, sous leur forme écrite, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation. Le système de numération indo-arabe est aujourd’hui le plus répandu dans le monde.
Principe de base
Le système de numération le plus ancien, dit unaire (base 1), s'avère peu pratique lorsqu'il s'agit de manier des quantités importantes. La solution découverte par de nombreuses civilisations anciennes consiste à grouper les unités par paquets chaque fois qu'est atteinte une même valeur, qu'on appelle base de numération. Puis, on regroupe ces paquets en paquets d'ordre supérieur, et ainsi de suite. Généralement, le nombre d'éléments de chaque paquet est identique et donne la base de la numération. Cependant, certains systèmes sont irréguliers, comme la numération maya, de caractère de base vigésimale, irrégulière afin d'être plus compatible avec un calendrier de ou la numération babylonienne, initialement de caractère sexagésimal, qui se transforme tardivement en une combinaison sexagésimale et décimale. Le comptage usuel des durées est également irrégulier : soixante secondes pour une minute, soixante minutes pour une heure, vingt-quatre heures pour un jour, vingt-huit à trente-et-un jours pour un mois.
De nombreux systèmes ont été inventés et utilisés à des époques variées : Un système binaire (base 2) utilisé dans des langues d'Amérique du Sud et d'Océanie, et utilisé de nos jours en informatique. Un système ternaire (base 3). Un système quaternaire (base 4). Un système quinaire (base 5) dont il reste des traces jusqu'au dans des langues africaines, mais aussi, partiellement, dans les notations tchouvache, suzhou, romaine et maya. Le nom des chiffres 6, 7, 8 et 9 dans de nombreuses langues témoignent de ce système quinaire: ils se disent 5+1, 5+2, 5+3 et 5+4 en wolof (langue de la famille nigéro-congolaise), en khmer (langue austro-asiatique), en nahuatl (langue uto-aztèque), et, dans de nombreuses langues austronésiennes telles qu'en lote ou en ngadha (sous forme partielle). La base quinaire apparait parfois comme base auxiliaire ou sous-base de la base décimale, comme dans le système romain, ou de la base vigésimale.
centré|vignette|484x484px|Chiffres et nombres romains. Un système sénaire (base 6) est utilisé dans les langues Ndom et Kómnzo de Papouasie-Nouvelle-Guinée, ainsi que dans les dés. Il utilise six chiffres de 0 à 5, les comptages de doigts par "multiples de trois" bases, le plus pratique. Un système octal (base 8) est utilisé en langue pame du Nord, au Mexique, et en langue yuki, en Californie, ainsi qu'en informatique. Un système nonaire (base 9). Un système décimal (base 10) a été utilisé par de nombreuses civilisations, comme celles d’Égypte et de Chine (1450 av. J.-C.), et, probablement, par les Proto-indo-européens. Aujourd'hui, il est de loin le plus répandu. Un système duodécimal (base 12), déjà utilisé par les Sumériens et Assyro-babyloniens pour des mesures de longueur et de temps. On le retrouve dans un certain nombre de monnaies et d'unités de compte courantes en Europe au Moyen Âge, notamment dans le système impérial d'unitésDans le système anglosaxon de mesure des longueurs, un pied () vaut , et un pouce vaut ., et dans le commerce. Il sert encore, par exemple, pour compter les mois, les heures, les fleurs, les huîtres et les œufs. Un système hexadécimal (base 16), très couramment utilisé en électronique ainsi qu'en informatique.. Son intérêt réside dans les conversions triviales avec la base 2, tout en permettant une écriture plus compacte des nombres.
Un système vigésimal (ou vicésimal, base 20) existe au Bhoutan en langue dzongkha, et était en usage chez les Aztèques vers 1200 et, quoiqu'irrégulier, pour la numération maya. Il a des avantages en matière de divisibilité par 2, 4, 5 et 10. Certains pensent qu'il a aussi été utilisé par les Gaulois ou par les Basques mais on ignore en réalité si leur numération avait un caractère décimal ou vigésimal. Il était aussi présent en vieux français, ce qui explique l'usage du mot quatre-vingts pour le nombre 80, ou encore le nom de l'hôpital des Quinze-Vingts, qui pouvait accueillir 300 patientsSoit 15*20 patients.. vignette|255x255px|Les chiffres et nombres mésopotamiens de 1 à 59 : base 60 avec sous bases 5 et 10. Un système à base 32, utilisé en informatique. Un système à base 36, qui utilise les dix chiffres du système décimal et les vingt six lettres de l'alphabet. Un système sexagésimal (base 60) était utilisé pour la numération babylonienne et en Mésopotamie vers 3300 av. J.-C., ainsi que par les Indiens et les Arabes en trigonométrie. Il sert encore actuellement dans la mesure du tempsUne heure vaut , et une minute vaut . et certaines mesures des anglesMesuré en degrés, un tour complet vaut . Attention, il existe d'autres mesures d'angle comme le grade, le tour complet valant , ou le radian, le tour complet valant .. Le système Base64 utilisé en informatique.
Certaines bases de numération sont plus particulièrement utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en électronique numérique et en informatique. Consulter l'article Base (arithmétique) pour plus de détails.
Systèmes d'énonciation
Certains nombres bénéficient exclusivement d'un nom simple, comme mille en français. Dans le cas contraire, plusieurs principes permettent de les composer : l'addition : en français dix-sept (10+7), soixante-dix (60+10); en anglais twenty two (20+2) ; la multiplication : quatre-vingts (4x20), deux cents (2x100) en français ; en anglais two thousand (2x1000) ; la soustraction : dix-huit se dit en latin classique (deux-de-vingt, 20-2) ; la division : cinquante se dit en breton (moitié [de] cent, 100/2) ; la protraction (terme introduit par Claude Hagège) : trente-cinq se disait holhu ca kal en yucatèque (cinq-dix deux vingts, 15 2×20, soit 15 vers 2×20 ou 15 à partir de la vingtaine précédant 2×20, soit 15+20). Dans l'expression de 35 (comme dans celle de trente) il convient de restituer un relateur sous-entendu (ou effacé) qui était tu (en réalité ti+u avec ti = locatif 'vers' et u = indice personnel de 'son' qui, dans ce contexte, servait à dériver l’ordinal depuis le cardinal; si bien que l'expression de 35 doit s'analyser comme étant « 15 vers la deuxième vingtaine »A. Cauty, Des spécificités des numérations mayas précolombiennes, Mémoire de la Société de Linguistique de Paris, Nouvelle Série, tome XII, 2002, Leuven (Belgique), Peters, A. Cauty, Le type protractif des numérations de l’aire maya, Faits de Langues, , 2002 : Méso-Amérique, Caraïbes, Amazonie, Vol. 1, Paris, Ophrys, ..
Un système auxiliaire est parfois utilisé. Par rapport au système principal, celui-ci peut-être : inférieur : la numération wolof est décimale mais utilise un système quinaire auxiliaire, vingt-six se dit ñaar fukk ak juroom benn en wolof (deux dix et cinq un, 2×10+5+1) ; supérieur : la numération basque est décimale mais utilise un système vicésimal auxiliaire, cent cinquante-deux se dit en basque (cent-et deux-vingts-et dix-deux, 100+2×20+10+2). De même, en français de France et en français Canadien (Québec) persistent quatre-vingt et quatre-vingt-dix (au lieu de huitante, ou anciennement, octante, utilisé dans certains cantons en Suisse, et nonante en Suisse et en Belgique), qui proviennent du système vicésimal médiéval, utilisé de façon auxiliaire au système principal décimal d'origine latine.
Enfin, certains nombres bénéficient d’une construction indépendante de la base employée. Ainsi, en breton, dix-huit se dit (trois-six, 3×6)Poisard, Caroline ; Kervran, Martine ; Surget, Elodie ; Moumin, Estelle : 2018. « Étudier des numérations orales en classe : quels savoirs mathématiques et langagiers ? ». Au fil des maths.. Et on trouve d’autres exemples en vieux breton, dans certaines formes de nombres qui n’ont pas survécu : (deux-neuf, 2×9) pour dix-huit, (cinq neuf, 5×9) pour quarante-cinq, (sept sept, 7×7) pour quarante-neuf et (trois trente, 3×30) pour quatre-vingt-dixFleuriot, Léon : 1964. Le vieux breton : Éléments d’une grammaire. Paris : Librairie C. Klincksieck. P. 255-256..
Systèmes de mime Plusieurs peuples se servent, ou se sont servis, traditionnellement des parties de leur corps pour compter. Pour un compte décimal ou quinaire, les doigts sont généralement mis à contribution. Les Yukis, qui emploient un système octal, utilisent des espaces entre les doigts pour compter. Le peuple chepang, qui emploie un système duodécimal, se sert du pouce pour compter sur les phalanges des doigts. Bien d'autres procédés encore ont été employés.
Systèmes de notation Les symboles utilisés pour écrire les nombres sont les chiffres. Les règles d'utilisations de ces chiffres permettent de distinguer schématiquement trois principales familles de système de notation : les systèmes additifs, hybrides et positionnels.
Les systèmes additifs
Ces systèmes utilisent des chiffres pour représenter les puissances de la base, et éventuellement des sous-multiples de ces puissances. Les autres nombres s'obtiennent par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs des symboles pour connaitre le nombre. C'est le cas des systèmes de numération égyptien, grec, romain, gotique, ou plus simplement du système unaire.
Il existe également des systèmes à la fois additifs et soustractifs. Ainsi, la numération romaine, additive, connait une variante additive et soustractive plus tardive.
Exemple de nombre romain en écriture additive : MMCCCXXVII vaut 2327=(1000+1000)+(100+100+100)+(10+10)+5+(1+1).
Exemple de nombre romain en écriture additive et soustractive: CMXCIV vaut 994 (100 ôté de 1000+10 ôté de 100+1 ôté de 5).
Les systèmes hybrides Ces systèmes utilisent des chiffres pour les unités et pour les puissances de la base. Les chiffres représentant une puissance de la base utilisés sont, au besoin, combinés avec un chiffre représentant une unité, et les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération chinois et japonais. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre deux-mille-huit-cent-dix-sept, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.)
Exemple : en numération japonaise le nombre 1975 s'écrit 千九百七十五. En effet 千 est le chiffre 1000, 百 le chiffre 100, 十 le chiffre 10, 九 le chiffre 9, 七 le chiffre 7, et 五 le chiffre 5. 千九百七十五 vaut donc : 1000+9x100+7x10+5=1975.
Les systèmes positionnels
Ces systèmes utilisent des chiffres, dont la place dans l'écriture du nombre indique le poids qui leur est affecté (poids 0=1, poids 1=, poids 2… pour une base ). C'est le cas des systèmes de numération maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe à l'origine des mathématiques modernes. Ils permettent d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, en utilisant le zéro positionnel.
Dans un tel système, une base β nécessite β chiffres pour représenter tous les entiers, et chaque entier a alors une représentation unique. La valeur généralement utilisée de ces chiffres va de 0 à β-1.
Exemples : Base 2: les chiffres sont 0 et 1. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "10001" en base 2, soit : 1x2⁴+0x2³+0x2²+0x2+1 donc 1x16+0x8+0x4+0x2+1. Base 5 : les chiffres sont 0,1, 2, 3 et 4. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "32" en base 5, soit : 3x5+2.