vignette|Représentation de la somme des inverses des nombres premiers (en rouge). On observe que la somme diverge lentement vers l'infini car elle est bornée inférieurement par une fonction divergente (en bleu). En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général , où désigne le -ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant : Leonhard Euler a démontré en 1737 (E 072). que , ce qui renforce à la fois le théorème d'Euclide sur les nombres premiers et celui d'Oresme sur la série harmonique.

Démonstration par l'analyse La démonstration suivante est due à Paul Erdős ; elle est reproduite au premier chapitre de Raisonnements divins..

On suppose par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel tel que :

On définit comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à et qui ne sont divisibles que par des nombres premiers parmi les premiers (donc parmi ). Un tel entier peut être écrit sous la forme où est un entier sans facteur carré.

Seuls les premiers nombres premiers peuvent diviser , et chacun est présent avec l’exposant 0 ou 1 dans la décomposition de en facteurs premiers ( n’ayant pas de facteur carré). Il y a donc au plus choix pour . Conjointement avec le fait qu'il y a au plus valeurs possibles pour , cela donne :

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à et divisibles par au moins un nombre premier différent des premiers est égal à .

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à et divisibles par est au plus , on obtient :

ou encore

Or, étant fixé, cette inégalité est fausse pour suffisamment grand, en particulier pour supérieur ou égal à , d'où une contradiction.

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série. : donc On a majoré par 2 via une somme télescopique (ou une comparaison série-intégrale), mais on peut aussi utiliser sa valeur exacte : ., ce qui confirme une partieVoir « Constante d'Euler-Mascheroni » et « Constante de Meissel-Mertens ». de l'intuition d'Euler :

Preuve par un produit eulérien

Connaissant l'équivalent quand , il suffit de montrer la divergence de la série de terme général , ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des . Or

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Prenant les logarithmes des équivalents, on en déduit à nouveau que . On pourrait penser que cela implique que et donc que , mais il est en fait impossible de rendre rigoureuse cette démonstration du théorème des nombres premiersUne analyse de cet argument et d'autres arguments heuristiques analogues est faite dans cette discussion sur MathOverflow, et dans cette entrée du blog de Terence Tao..

Développement asymptotique Soit un réel positif. Le développement asymptotique à deux termes de la série des inverses des nombres premiers est, chapitre 22 (« La suite des nombres premiers (3) »), sections 22.7 et 22.8.: où est la constante de Meissel-MertensLa série servant à définir est bien convergente, car par un calcul de développement limité on a pour tout entier positif : , qui est le terme général d'une série convergente. et la constante d'Euler.

Sommes partielles

Bien que les sommes partielles de la série des inverses des nombres premiers puissent dépasser toute valeur entière, elles ne sont jamais égales à un entier.

Ceci peut se démontrer par récurrence . La première somme partielle est égale à , qui est de la forme . Si la -ième somme partielle (pour ) est de la forme , alors la -ème somme est

Elle n'est donc pas entière, ce qui achève la récurrence..

On peut aussi réduire l'expression de la somme des premiers inverses de nombres premiers (ou bien la somme des inverses de tout ensemble de nombres premiers) au même dénominateur, qui est le produit de tous ces nombres premiers. Chacun de ces nombres premiers divise tous les termes du numérateur sauf un et ne divise donc pas le numérateur lui-même ; mais chaque nombre premier divise le dénominateur. Ainsi la fraction est irréductible et n'est pas entière.

Série apparentée convergente La série est convergente ; , voir la .

Erdős a conjecturé que si est un ensemble « primitif » (ensemble d'entiers tels qu'aucun élément n'en divise un autre), alors toute somme est finie et inférieure ou égale à ; ceci a été démontré en 2022 par Jared Lichtman.

Annexes

Notes et références Notes

Références

Articles connexes Constante de Meissel-Mertens : intervient dans le développement asymptotique de la série divergente étudiée ici Théorème de Brun : la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge Liste de sommes d'inverses d'entiers Conjecture d'Erdős, Sárközy et Szemerédi

Liens externes , sur le site de Chris Caldwell

Inverses des nombres premiers Catégorie:Théorie analytique des nombres