vignette|Image à l'ordinateur montrant la 3D En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes).
Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures. Cette spécificité des 3-variétés a conduit à la découverte de leurs relations étroites avec de multiples domaines comme la théorie des nœuds, la théorie géométrique des groupes, la géométrie hyperbolique, la théorie des nombres, la théorie de Teichmüller, la théorie quantique des champs , les théories de jauge, l'homologie de Floer et les équations aux dérivées partielles.
La théorie des 3-variétés fait partie de la topologie en basses dimensions, donc de la topologie géométrique.
Une idée clé de cette théorie est d'étudier une 3-variété M en considérant des surfaces particulières plongées dans M. Choisir la surface « bien placée » dans la 3-variété mène à l'idée de et à la théorie des ; la choisir telle que les morceaux du complémentaire soient le plus « agréables » possible conduit aux , utiles même dans le cas non-Haken.
Les 3-variétés possèdent souvent une structure additionnelle : l'une des huit géométries de Thurston (dont la plus courante est l'hyperbolique). L'utilisation combinée de cette géométrie et des surfaces plongées s'est révélée fructueuse.
Le groupe fondamental d'une 3-variété donne beaucoup d'informations sur sa géométrie et sa topologie, d'où l'interaction entre théorie des groupes et méthodes topologiques.
Exemples importants de 3-variétés
Espace euclidien de dimension 3 3-sphère S Groupe spécial orthogonal SO(3) (ou espace projectif réel RP) Tore T Espace hyperbolique H Sphère d'homologie de Poincaré
Quelques classes importantes de 3-variétés (Ces classes ne sont pas disjointes.)
Compléments de nœuds ou d'entrelacs hyperboliques (, entrelacs de Whitehead, anneaux borroméens…)
3-Sphères d'homologie
Fibrés en surfaces sur le cercle, en particulier tores d'homéomorphismes du tore T Fibrés en intervalles ou en cercles sur une surface Variétés de Seifert 3-variétés munies d'une structure de contact
Résultats fondamentaux Certains de ces théorèmes ont conservé leurs noms historiques de conjectures.
Commençons par les résultats purement topologiques :
Théorème de – Toute 3-variété possède une triangulation, unique à subdivison commune près. Corollaire – Toute 3-variété compacte possède une décomposition de Heegard. Théorème de décomposition de Milnor Lemme de finitude de Kneser-Haken Théorèmes de la boucle et de la sphère de Papakyriakopoulos Théorèmes de la couronne et du tore de Jaco-Shalen et
Théorèmes de rigidité topologique de
Des théorèmes où la géométrie joue un rôle important dans la preuve :
Conjecture de , selon laquelle pour tout difféomorphisme de S d'ordre fini, le cercle des points fixes est non noué.
Des résultats qui relient explicitement géométrie et topologie :
Théorème de Thurston de Théorème de -Thurston, selon lequel l'ordre, sur l'ensemble des volumes finis de 3-variétés hyperboliques, est de type Conjecture de géométrisation de Thurston Conjecture de Poincaré , ou théorème des bouts géométriquement sages
Références
Voir aussi
Topologie arithmétique
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