En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante. équation (16) et exercices 50 à 52.., valide pour tout entier naturel : . Quand on l'évalue en , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour , on retrouve que la différence finie est nulle.
Variantes La variante
est le cas particulier du théorème. Réciproquement, quand on remplace par et par , on retrouve le cas général. En remplaçant par , on déduit de cette première variante. : . Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant par . On peut de même remplacer par dans le théorème. On peut bien sûr remplacer par dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de par , donne comme théorème équivalent. : . En effectuant le changement d'indice dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient, aux notations près. : . Il est également possible de déduire la variante suivante, corollaire 12. : .
Exemple Vérifions la première variante dans le cas .
Démonstration Considérons les polynômes (à coefficients dans )
et démontrons, par récurrence sur , que pour tout . On a bien . Supposons que pour un certain , . Alors, les polynômes dérivés de et sont égaux car.Par ailleurs, . Par conséquent,
Références
Voir aussi Article connexe Suite de Sheffer Bibliographie , (1.117), (1.118) et (1.119)
Abel Catégorie:Coefficient binomial