En théorie des probabilités et en statistique, la loi d'Irwin-Hall, dénommée d'après le statisticien Joseph Oscar Irwin et le mathématicien Philip Hall, est une loi de probabilité définie comme la somme de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme continue sur .
Pour générer des nombres pseudo-aléatoires ayant une loi approximativement normale, on peut générer, par simplicité, des sommes de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme continue.
Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi de Bates qui est la moyenne de variables aléatoires uniformes sur .
Définition La loi d'Irwin–Hall est la loi de probabilité continue pour la somme de variables aléatoires iid de loi uniforme continue sur :
Sa densité de probabilité est donnée par :
où est la fonction signe :
ou encore par :
où est la fonction de Heaviside :
Ainsi, la densité est une spline (fonction définie par morceaux par des polynômes) de degré sur les nœuds . Plus précisément, pour , la densité est
où les coefficients sont obtenus par la relation de récurrence en :
Premières valeurs Pour , suit une loi uniforme continue :
Pour , suit une loi triangulaire :
Pour ,
Pour ,
Pour ,
Propriétés L'espérance et la variance valent respectivement et .
La probabilité que soit compris entre et +1 est égal à , où est un nombre eulérien.
La loi de la partie fractionnaire de est une loi uniforme sur [0,1].
Notes et références
Voir aussi Bibliographie Irwin, J.O. (1927) "On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., . Hall, Philip. (1927) "The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., .
Irwin-Hall