En mathématiques, le lemme de Fitting est un énoncé d'algèbre d'après lequel si M est un module indécomposable et de longueur finie alors tout endomorphisme de M est soit bijectif, soit nilpotent. Il en résulte que l'anneau des endomorphismes de M est local. Énoncé Si est un module de longueur finie et un endomorphisme de alors
Démonstration Par hypothèse sur la longueur de , on a
De ces égalités on déduit respectivement
Conséquences Sous les hypothèses du lemme, se restreint en un endomorphisme nilpotent de et un automorphisme de . Si est de plus indécomposable alors est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau est local. Ce lemme permet de démontrer le théorème de Krull-Schmidt sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.
Notes et références
Voir aussi
Catégorie:Module Fitting