En mathématiques, les éléments conjugués d'un élément algébrique sur un corps sont les racines de son polynôme minimal sur , dans une extension de où ce polynôme est scindé. De façon équivalente, les conjugués de sont les images de par les automorphismes de .
Exemples Si est un élément de , son polynôme minimal sur est donc son seul conjugué sur est lui-même. Si est un nombre complexe non réel, c'est-à-dire si sa partie imaginaire est non nulle, alors son polynôme minimal sur ℝ est donc ses conjugués sur ℝ sont lui-même et son nombre complexe conjugué . Les racines cubiques de l'unité dans ℂ sont
Sur ℚ, et ont pour polynôme minimal commun et sont conjugués. Plus généralement, les racines primitives -ièmes de l'unité dans ℂ ont pour polynôme minimal sur ℚ le -ième polynôme cyclotomique et sont conjuguées sur ℚ.
Propriétés Le polynôme minimal de sur est scindé sur toute extension normale de contenant (par exemple une clôture algébrique de , ou même seulement un corps de décomposition du polynôme), réimpr., 1978, p. 182. Les conjugués de sont alors les images de par les éléments du groupe de Galois de l'extension. Soient un entier algébrique non nul et , le plus grand des modules de ses conjugués sur ℚ. Kronecker a démontré que si est inférieur ou égal à 1 alors est une racine de l'unité ; si est inférieur ou égal à 2 et est totalement réel, c'est-à-dire si tous les conjugués de sur ℚ appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors est de la forme pour un certain rationnel . Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du théorème des unités de Dirichlet) : pour tout entier et tout réel , il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques tels que le degré (du polynôme minimal) de soit inférieur ou égal à et que .
Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de , une majoration de || moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité.
Conjugués d'un polynôme Supposons que soit un polynôme séparable et irréductible dans , et qu'il existe une extension et un polynôme dans tel que divise dans . Si l'on dénote par L le corps de décomposition de sur , est galoisienne, et est isomorphe à . De plus, les coefficients de appartiennent à L. En particulier, le polynôme est algébrique sur , et donc possède des éléments conjugués sur : l'ensemble des conjugués de s'obtient en appliquant les automorphismes de sur les coefficients de .
Propriétés Il est naturel de penser que le produit des conjugués de est égal à , mais c'est inexact, sauf si est irréductible et que est primitif, dans le sens où est engendré par une seule racine de .
En général, le produit des conjugués de est égal à , où appartient au corps et est un nombre naturel.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Lemme de Krasner Nombre de Pisot-Vijayaraghavan Nombre de Salem
Lien externe
Catégorie:Théorie de Galois