En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.
Énoncé Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert et continue sur son adhérence .
On pose : .
Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.
C'est-à-dire : .
De plus, si f(z) n'est pas de la forme A zB, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.
Nota : les trois cercles apparaissant dans ce théorème sont ceux de centre 0 et de rayons .
Démonstration Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard..
On pose et .
On a donc : .
Or g est holomorphe sur et continue sur .
Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.
Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.
Histoire John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème. mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve, section 9.3..
Annexes Notes et références
Bibliographie
Lien externe
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