Le théorème de Schwarz ou de Clairaut. (parfois appelé , théorème de Young, par les anglophones..) est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables.
Sous certaines hypothèses, il dit que l'ordre de deux dérivations successives est indifférent : dériver par rapport à une variable d'abord, puis par rapport à une variable revient au même que dériver par rapport à la variable d'abord puis par rapport à la variable . Autrement dit :
Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861 auquel assistait alors Schwarz à Berlin.
Énoncé
La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :
Un contre-exemple vignette|La fonction ne possède pas de dérivée seconde en .
Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884.. Il s'agit de la fonction définie parCe contre-exemple est détaillé sur Wikiversité. :
qui vérifie :
tandis que
Applications Exactitude d'une forme différentielle
Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où est de classe C :
Alors :
et
En appliquant le théorème de Schwarz, on déduit :
Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.
Plus généralement, en dimension :
ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme , s'écrit :
si alors
En thermodynamique
En thermodynamique, le théorème de Schwarz permet notamment d'établir les relations de Maxwell.. Par exemple, en considérant l'énergie interne , dont la différentielle vaut :
avec la pression, l'entropie, la température et le volume, on a les dérivées partielles :
Le théorème de Schwarz donne :
d'où l'une des quatre relations de Maxwell :
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Lemme de Poincaré
Liens externes
Catégorie:Analyse à plusieurs variables Schwarz