vignette|Représentation du spectre de l'anneau des entiers naturels, ainsi que des corps de fractions associés à ses points. En mathématiques, le spectre d'un anneau commutatif unitaire désigne l'ensemble de ses idéaux premiers. Cet ensemble peut être naturellement muni d'une topologie, dite de Zariski, ainsi que d'un faisceau d'anneaux commutatifs unitaire, ce qui en fait un espace localement annelé. Cet espace est alors appelé un schéma affine et sert d'espace de base pour la construction des schémas en géométrie algébrique.

Définition ensembliste Le spectre d'un anneau commutatif est l'ensemble de ses idéaux premiers et est généralement noté .

Le spectre des entiers naturels s'identifie à l'ensemble constitué de et l'ensemble des nombres premiers. À travers cette identification, chaque nombre premier correspondent à l'idéal premiers et à l'idéal nul. Le spectre d'un corps commutatif est réduit à un point, les seuls idéaux d'un corps étant l'idéal nul et le corps tout entier (qui n'est pas premier, par convention). Si est un corps commutatif, le spectre de l'anneau des polynômes à coefficients dans s'identifie à l'ensemble constitué du polynôme nul et des des polynômes premiers unitaires de . Si de surcroît K est algébriquement clos, alors s'identifie au corps auquel on a adjoint un point générique. Si , alors s'identifie à l'ensemble constitué d'un point générique et du demi-plan complexe supérieur . À travers cette identification, un réel correspond à l'idéal premier engendré par le polynôme et un complexe , avec , correspond à l'idéal premier engendré par le polynôme .

Topologie de Zariski Définition À tout idéal de , on associe l'ensemble des idéaux premiers de qui contiennent , parfois noté . Les ensembles , pour décrivant les idéaux de , forment les fermés d'une topologie sur l'ensemble , appelée topologie de Zariski.

Pour tout élément de , l'ensemble des idéaux premiers de ne contenant pas est un ouvert de Zariski dans . Il s'agit du complémentaire du fermé , parfois noté . On appelle parfois ces ouverts des ouverts distingués ou principaux et ils constituent une base de la topologie de Zariski sur .

La topologie de Zariski n'est en général pas séparée.

Exemples

En identifiant à la réunion de et de l'ensemble des nombres premiers, ses fermés de Zariski sont les ensembles finis (potentiellement vides) de nombres premiers, ainsi que lui-même. En particulier, le singleton n'est pas fermé et c'est un point dense, c'est-à-dire que son adhérence est égale à tout entier. Autrement dit, le point est contenu dans tout voisinage de tout nombre premier et aucun nombre premier n'est donc séparé d'un autre par cette topologie. De manière analogue, si est un corps commutatif, alors les fermés de Zariski de sont les ensembles finis de polynômes premiers unitaires sur , ainsi que . Le point donné par le polynôme nul a des propriétés topologiques analogues à celles du point dans le cas de . En particulier, lorsque est algébriquement clos, s'identifie à la réunion disjointe de et d'un point générique correspondant à l'idéal nul. Les fonctions continues de dans lui-même sont alors différentes de celles des topologies euclidiennes usuelles. Sont par exemple continues toutes les fonctions fixant et dont la restriction à est soit bijective, soit polynomiale. Dans le cas où est le corps des nombres complexes, la fonction module n'est pas continue, puisque le complexe admet une infinité d'antécédents.

Points particuliers Un point p de Spec A est dit fermé si le singleton {p} est une partie fermée de Spec A. p est fermé si et seulement si c'est un idéal maximal de A. Si A est non nul, alors Spec A a toujours des points fermés. Mais contrairement à ce qui se passe pour les topologies métriques, tous les points ne sont pas fermés en général. Dans les exemples Spec ℤ et Spec ℝ[X], il existe un idéal premier (l'idéal nul) non maximal.

Puisqu'un point p de Spec A n'est pas nécessairement fermé, on peut considérer son adhérence (i.e. celle du singleton {p}) dans Spec A pour la topologie de Zariski. On dit qu'un point est générique s'il n'appartient à l'adhérence d'aucun autre point. Il est facile de voir qu'un point correspondant à un idéal premier est générique si et seulement si l'idéal premier est minimal (c'est-à-dire ne contenant aucun autre idéal premier). Ainsi, si A est intègre, l'idéal nul est un idéal premier, évidemment minimal, et correspond donc à un point générique de Spec A. C'est aussi l'unique point générique de Spec A. L'adhérence du point générique est l'espace tout entier (c'est un point dense).

Si A n'est pas intègre, il peut y avoir plusieurs points génériques. L'adhérence de chacun de ces points génériques est un fermé de Spec A appelée une composante irréductible de Spec A.

Exemple Si A = ℝ[X, Y]/(XY) (quotient par l'idéal engendré par le polynôme XY). Alors Spec A possède deux points génériques correspondant aux idéaux engendrés par X et par Y. Les composantes irréductibles correspondantes sont homéomorphes à Spec ℝ[Z].

Séparation et compacité L'espace Spec A est quasi-compact : de tout recouvrement ouvert {Ui}i de Spec A, on peut extraire un sous-recouvrement fini. En effet, Ui est le complémentaire de Z(Ii) et Z(∑i Ii), qui est l'intersection des Z(Ii), est vide. Donc ∑i Ii = A. Cela implique que l'unité 1 de A appartient à la somme d'un nombre fini d'idéaux Ii. Les ouverts Ui correspondant aux complémentaires de ces Z(Ii) recouvrent Spec A.

Par contre un point n'est pas nécessairement fermé. Donc Spec A n'a aucune chance d'être un espace séparé en général. Néanmoins Spec A possède la propriété T. De plus, si on interprète la séparation d'un espace topologique X par le fait que la diagonale de X × X (produit cartésien muni de la topologie produit) est fermée, alors Spec A devient séparé dans le monde des schémas à condition que soit défini convenablement le produit (produit fibré) de Spec A par lui-même.

Applications continues Soit h : A → B un homomorphisme d'anneaux. Pour tout idéal premier P de B, h(P) est un idéal premier de A, ce qui définit une application Spec h : Spec B → Spec A. De plus, l'image réciproque par Spec h de tout fermé de A est un fermé de B car pour tout idéal I de A, (Spec h)(Z(I)) = Z((h(I))). Donc Spec h est une application continue.

Exemples Si h est la surjection canonique A → A/I correspondant au quotient de A par un idéal I, alors Spec h est une immersion fermée et identifie Spec A/I à Z(I) muni de la topologie induite par celle de Spec A. Soit f un élément non nilpotent de A, soit h : A → Af l'homomorphisme de localisation a ↦ a/1. Alors Spec h est une immersion ouverte et identifie Spec Af à l'ouvert principal D(f). Pour tout anneau A, il existe un unique homomorphisme d'anneaux ℤ → A. Ce qui donne une application continue Spec A → Spec ℤ. Si A est de caractéristique p positive avec p premier, alors l'image de cette application est le point pℤ.

Faisceau structural, schéma affine Définition Soit X l'espace topologique Spec A. À isomorphisme près, il existe un unique faisceau d'anneaux commutatifs O sur X dont l'anneau des sections sur tout ouvert de la forme D(f) (pour f ∈ A) s'identifie à l'anneau localisé A. Pour tout idéal premier p de A, l'anneau des germes de fonctions régulières en p (vu comme un point de X) s'identifie au localisé de A en p.

La donnée de l'espace topologique X et du faisceau d'anneaux O constitue un espace topologique annelé ; par définition, c'est un schéma affine. Le faisceau O est appelé le faisceau structural de X.

Si U est un ouvert de X, les sections sur U du faisceau structural sont appelées par abus de langage des fonctions régulières sur U.

La définition d'un schéma affine est quasiment identique à celle de variété affine. La différence est que le schéma autorise les idéaux premiers non maximaux dans le spectre (notamment l'idéal nul). Ces idéaux correspondent aux points génériques non fermés ; un schéma affine peut donc se voir comme une variété algébrique affine avec des points non fermés en plus.

Exemples Décrivons le faisceau structural de Spec ℤ. L'anneau au-dessus de Spec ℤ est ℤ, la fibre en l'idéal nul est ℚ et l'anneau au-dessus du vide est l'anneau trivial. En identifiant Spec ℤ à la réunion de 0 et des nombres premiers positifs, un ouvert de Spec ℤ est le complémentaire d'un ensemble fini de nombres premiers (avec bien sûr Spec ℤ et le vide). On prend donc un ouvert U = Spec ℤ \ {p1, …, pn}. L'anneau au-dessus de U est les nombres rationnels dont le dénominateur n'a que les pi comme facteurs premiers.

Voir aussi , en particulier d'une C*-algèbre commutative Anneau de Grothendieck

Catégorie:Géométrie algébrique Catégorie:Idéal