Les méthodes mathématiques d'analyse multicritère ont pour but la résolution des problèmes d'aide à la décision multicritèreRoy B. (1985). Méthodologie multicritères d’aide à la décision. Paris : Economica, XXII + 423 p.. Elles constituent une étape importante du processus de décision, qui suit celle d'identification et de définition du problème, et aboutissent au choix d'une ou plusieurs solutions optimale(s), au sens de Pareto, parmi un ensemble discret de solutions, via une procédure de sélection. Elles permettent également de répondre aux problématiques de tri et de rangement, par l'intermédiaire d'une procédure d'affectation et de classement respectivement.
Ces méthodes sont issues principalement des travaux de Thomas L. Saaty et du chercheur Bernard Roy, créateur du LAMSADE (Laboratoire d'analyse et modélisation de systèmes pour l'aide à la décision).
Elles sont confrontées à deux limites : l'une liée au manque de données fiables sur une durée suffisante, ce qui peut empêcher la construction ou la validation de la méthode ; l'autre liée à la technicité inhérente à de telles méthodes puisque ces dernières nécessitent l'usage de concepts délicats qui peuvent déboucher sur des résultats erronés ou une analyse confuse. Ces méthodes héritent également des problèmes informatiques, notamment celui de l'explosion combinatoire.
Il existe de nombreuses méthodes mathématiques d'analyse multicritère, mais celles-ci peuvent être regroupées en deux approchesAnalyse multicritères Par Nadia Lehoux et Pascale Vallée : agrégation a priori de critères en un critère unique ; approche fondée sur le surclassementRoy B., Skalka JM. (1985). E l e c t re Is, aspects méthodologiques et guide d’utilisation. Document 30, Lamsade. Paris : Université de Paris Dauphine, 119p..
Définitions
Action L'Aide à la décision multicritère s'intéresse au choix parmi un nombre fini d'actions possibles (projet, investissement, décision, solution, plan, variante, candidat...) pour atteindre un objectif.
Critère Un critère est une fonction définie sur l'ensemble des actions représentant les préférences de l'utilisateur selon son point de vue.
Poids Le poids mesure l'importance d'un critère par rapport aux autres du point de vue du décideurComment déterminer les poids .
Agrégation a priori de critères en un critère unique
Somme pondérée
La méthode de la somme pondérée est connue de par son accessibilité mathématique.
Formulation mathématique
Données de départ
m actions A1, A2, A3...Am n critères C1, C2, C3...Cn Vecteur poids (W1, W2,...Wn) et Wj > 0 aij = Uj(Ai), fonction d'utilité cardinale quotient, c'est-à-dire que cette fonction représente les écarts en plus de respecter l'ordre et pour laquelle il existe un zéro véritable. Ces données représentent les performances de chaque action sur chacun des critères.
Transformation des données
Normalisation de tous les aij afin de conserver la proportionnalité entre les valeurs. Normalisation des poids (la somme des poids = 1). Mise en œuvre de la méthode Somme pondérée.
Donc un critère unique pour toute action i
Exemple d'utilisation de cette méthode
On propose d'appliquer cette méthode au choix de sélection d'une ville ou d'un territoire en fonction de son attractivité à développer les déplacements doux et/ou ayant adopté une démarche de développement durable et notamment avec la réduction des gaz à effet de serre. Il s'agit de trouver la ville ou les villes qui sont les plus attractives sur les 5 villes, puis de les classer de la plus pertinente à la moins pertinente.
Objet de la décision : Mobilité responsable et développement d'infrastructures pour le développement durable
On considère les six critères suivants :
Attractivité climatique : C1 : Si un territoire présente un climat doux avec une pluviométrie acceptable, il favorise les déplacements pédestres et des transports doux (vélo,...). Il est évalué à partir de la température moyenne annuelle, du nombre d'heures d'ensoleillement et de la hauteur des précipitations. Ce critère est à maximiser. Accessibilité piéton/vélo : C2 : Si les différents secteurs de la ville sont accessibles facilement à pied ou à vélo ; si le relief est faiblement pentu : il favorise l'usage de la marche ou la bicyclette. Son indicateur est le % de marche utilisé + % d'usage du vélo. Ce critère est à maximiser. Transports en commun : C3 : L'usage des transports en commun est lié à la politique locale de l'agglomération qui a favorisé son développement : il s'agit en fait d'un indicateur de l'adhésion des populations à ces transports. Ce critère est à maximiser. Automobile : C4 : L'usage des véhicules personnels est un indicateur de la ville concernant d'une part son accessibilité, et du comportement urbain des habitants lié à différents facteurs : il est caractérisé par le % d'usage de la voiture dans la mobilité. Ce critère est à minimiser. Mobilité : C5 : Nombre de déplacement par jour et par habitant. Il exprime soit une nécessité ou un intérêt à se déplacer pour les habitants du territoire. Ce critère est à minimiser. Profil de la population : C6 : L'indicateur donné est le pourcentage de la population ayant plus de 60 ans. Ce critère est à maximiser.
Les valeurs des poids sont données dans le tableau ci-dessous (choix du décideur) :
{| class="wikitable" |- ! Critère !! Description !! Poids |- | 1 || Attractivité climatique || 16 |- | 2 || Accessibilité piéton/vélo || 18 |- | 3 || Transports en commun || 18 |- | 4 || Automobile || 18 |- | 5 || Mobilité || 24 |- | 6 || Profil de la population || 6
Voici la matrice des décisions (tableau des performances) :
{| class="wikitable" |- ! N° Ville !! Attractivité climatique !! Accessibilité piéton/vélo !! Transports en commun !! Automobile !! Mobilité !! profil de la population |- |1 || 3 || 32 || 11 || 42 || 3,54 || 21,85 |- |2 || 2 || 32 || 14 || 41 ||3,63 || 18,6 |- |3 || 2 || 31 || 7 || 45 || 3,99 || 12,9 |- |4 || 2 || 32 || 6 ||43 ||3,75 || 27,3 |- |5 || 2 || 25 || 10 ||49 || 3,52|| 16,5
Afin d'avoir une somme pondérée cohérente, il est nécessaire de ne considérer que des critères à maximiser. Toutefois, les critères Automobile et Mobilité sont à minimiser. Une transformation de ces données s'impose alors afin d'obtenir deux critères à maximiser. La transformation adéquate est la suivante :
Cette transformation maintient les écarts et permet de conserver un zéro véritable, et échange l'ordre afin de considérer alors un critère à maximiser. On les notera C4' et C5'.
Voici la matrice des décisions sur laquelle la méthode Somme pondérée peut alors s'appliquer :
{| class="wikitable" |- ! N° Ville !! Attractivité climatique !! Accessibilité piéton/vélo !! Transports en commun !! Automobile C4' !! Mobilité C5' !! Profil de la population |- |1 || 3 || 32 || 11 || 7 || 0,45 || 21,85 |- |2 || 2 || 32 || 14 || 8 ||0,36 || 18,6 |- |3 || 2 || 31 || 7 || 4 || 0 || 12,9 |- |4 || 2 || 32 || 6 ||6 ||0,24 || 27,3 |- |5 || 2 || 25 || 10 ||0 || 0,47 || 16,5
On applique alors la méthode des Sommes pondérées et on choisit comme procédure de normalisation :
Normalisation des aij
Considérons l'exemple de la première ligne :
{| class="wikitable" |- ! N° Ville !! Attractivité climatique !! Accessibilité piéton/vélo !! Transports en commun !! Automobile C4' !! Mobilité C5' !! Profil de la population !! Somme de la ligne |- |1 || 3 || 32 || 11 || 7 || 0,45 || 21,85 || 75,3
On réalise alors l'opération suivante : . Voici le critère la première ligne normalisée :
{| class="wikitable" |- ! N° Ville !! Attractivité climatique !! Accessibilité piéton/vélo !! Transports en commun !! Automobile C4' !! Mobilité C5' !! Profil de la population |- |1 || 0,0398 || 0,4250 || 0,1461 || 0,0930 || 0,0060 || 0,2902
Normalisation des poids
{| class="wikitable" |- ! Critère !! Description !! Poids |- | 1 || Attractivité climatique || w1 = 0,16 |- | 2 || Accessibilité piéton/vélo || w2 = 0,18 |- | 3 || Transports en commun || w3 = 0,18 |- | 4 || Automobile || w4 = 0,18 |- | 5 || Mobilité || w5 = 0,24 |- | 6 || Profil de la population || w6 = 0,06
Somme pondérée
On effectue finalement l'opération suivante
Par exemple, pour la ligne 1, on effectue cette opération :
On effectue alors cette opération pour chacune des lignes.
Interprétation de la méthode de la somme pondérée
Une fois ce travail réalisé, l'interprétation des résultats s'impose. On trie alors les sommes pondérées résultantes dans l'ordre décroissant, ce qui permet la réalisation d'un classement des villes.
Voici les trois premières villes du classement :
{| class="wikitable" |- ! Préférence !! N° Ville !! Somme pondérée |- | 1 || Ville n° 3|| 0,1521 |- | 2 || Ville n° 2|| 0,1500 |- | 3 || Ville n°1 || 0,1447
Attention : Le classement obtenu dépend de la procédure de normalisation.
Le décideur peut alors soit se fier à cette analyse et choisir la ville n°3, soit demander que soient mises en œuvre d'autres méthodes de Somme pondérée avec d'autres procédures de normalisation et obtenir ainsi une position moyenne des différentes villes et choisir celle qui a la meilleure position moyenne.
Il est important de noter que la pondération a été fournie par le décideur et que celle-ci répond à ses préférences personnelles. D'autres pondérations donneraient des résultats tout à fait différents.
Limites et désavantages de cette méthode
La méthode de la somme pondérée possède deux avantages principaux :
Il s'agit d'un modèle simple La solution optimale d'une somme pondérée est efficace
Cependant de nombreuses limites existent vis-à-vis de cette méthode, notamment due à l'interprétation des poids qui prennent en compteLimites de l'analyse multicritère :
L'importance relative des critères Un facteur de normalisation des échelles des critères
La méthode de la somme pondérée nécessite donc d'avoir des critères comparables et d'intégrer l'influence de la normalisation préalable.
Analyse multicritères hiérarchique (AMCH)
Il s'agit de la méthode dont Thomas L. Saaty est l'inventeur, l'architecte et le premier théoricien (1980). Elle repose sur trois concepts : La structuration hiérarchique : décomposition du problème en sous problèmes. La structuration des priorités : classement des éléments selon leur importance relative. La cohérence logique : les éléments sont regroupés et classés de façon logique.
Cette méthode présente plusieurs intérêts notables et permet de : élaborer un compromis représentatif des divers avis mais pas nécessairement le consensus ; affiner la définition d'un problème par la décomposition ; établir des priorités ; prendre en compte l'interdépendance des éléments ; évaluer la cohérence logique des avis utilisés.
Formulation mathématique
Pour trouver la ou les solutions idéale(s) il faut appliquer au problème l'algorithme suivant :
Construire la hiérarchie : Il faut déterminer les différents niveaux hiérarchiques et choisir les critères à chaque niveau. La comparaison s'effectue selon les critères de niveau équivalent. Par exemple à l'achat d'une voiture, l'utilisateur peut décomposer son objectif final "acheter la voiture la plus attrayante" en trois éléments comme les performances moteur, l'équipement et le prix. De plus ces critères peuvent être décomposés en sous-critères. Ainsi l'utilisateur peut décomposer le critère performances moteur en critères de niveau inférieur comme la consommation, l'accélération ou le couple. Établir le poids des critères et sous-critères : Le décideur définit les priorités en comparant de manière binaire les éléments de la hiérarchie. Pour chaque niveau du sommet à la base, il doit comparer les éléments deux à deux par rapport au critère supérieur. Par exemple, il doit se demander comment l'élément A1 satisfait-il mieux le critère A que l'élément A2. Pour formuler ses priorités il peut utiliser une échelle de comparaison binaire ci-dessous. {| class="wikitable" |- ! Appréciation !! Degré d'importance |-