En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart inverse, également appelée loi de Wishart inversée, est une loi de probabilité définie sur l'ensemble des matrices définies positives à coefficients réels.
Une variable qui suit une loi de Wishart inverse sera notée et est définie par la loi de sa matrice inverse : suit une loi de Wishart .
Densité La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :
où et sont des matrices définies positives et est la fonction gamma multidimensionnelle.
Théorèmes Loi de l'inverse d'une matrice de loi de Wishart Si et est une matrice , alors est de loi de Wishart inverse : .
Lois marginales et conditionnelles On suppose que suit une loi de Wishart inverse. En séparant convenablement en deux matrices et :
où et sont des matrices , alors on obtient
est indépendant de et de , où est le complément de Schur de dans ; ; , où est la loi normale multidimensionnelle;
Moments Cette section est basée sur l'article [Press, 1982], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.
La moyenne est :
La variance de chaque élément de est :
La variance de la diagonale utilise la même formule que ci-dessus avec , ce qui se simplifie en :
Liens avec d'autres lois Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec , c'est-à-dire unidimensionnel, , et , la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient
c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où est la fonction gamma classique.
La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.
Références
Wishart inverse