En mathématiques et notamment en algèbre, un demi-groupe régulier est un demi-groupe dans lequel tout élément est « régulier », non pas au sens usuel d'élément régulier c'est-à-dire simplifiable mais, par définition, au sens : il existe un élément tel que . Les demi-groupes réguliers sont parmi les classes les plus étudiées de demi-groupes ; leur structure se décrit bien au moyen des relations de Green.

Origines Les demi-groupes réguliers ont été introduits par James Alexander Green dans son article fondamental de 1951. C'est également dans cet article que sont définies ce que l'on appelle maintenant les relations de Green. Le concept de régularité d'un demi-groupe est l'adaptation de la même notion pour les anneaux déjà considérée par John von Neumann. Une note en bas de page de l'article de Green mentionne que la notion de régularité a été utilisée pour la première fois dans les demi-groupes par David Rees.

Définitions Soit un demi-groupe. Un élément de est un pseudo-inverse d'un élément de si . Un élément de est un inverse d'un élément a de si et . Notons, Lemma 1.14 que si est un pseudo-inverse de , alors est un inverse de puisque et Notons aussi que si est un inverse de , alors et sont des éléments idempotents de , puisque et de même pour . Un élément de est régulier s'il possède au moins un inverse. Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dont tous les éléments sont réguliers. Un demi-groupe régulier dont tous les idempotents commutent est un demi-groupe inversif. Les demi-groupes inversifs sont aussi caractérisés par le fait que tous leurs éléments ont un inverse uniqueEn effet, si S est un demi-groupe inversif et si b et c sont deux inverses de a, alorsb=bab=b(aca)b=(bac)(aca)b=(ba)(ca)cab=(ca)(ba)cab=(ca)b(ac)(ab)=(ca)b(ab)(ac)=c(ababa)c=cac=c., Theorem 5.1.1. En revanche, l'unicité de l'inverse n'implique pas l'unicité du pseudo-inverseBien au contraire : on peut prouver () qu'un demi-groupe où tout élément possède un pseudo-inverse unique est en fait un groupe..

Exemples de demi-groupes réguliers Un groupe. Le demi-groupe bicyclique. Le demi-groupe de toutes les fonctions partielles d'un ensemble . Pour une fonction , de domaine et d'image , on prend pour inverse tout fonction de domaine et d'image telle que . Si la fonction est injective, l'inverse est unique. L'image homomorphe d'un demi-groupe régulier, Lemma 2.4.4.

Relations de Green Dans un demi-groupe , l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par un élément est l'ensemble , , respectivement, où est le monoïde obtenu en ajoutant un élément neutre à S s'il n'en possédait pas déjà un. Les relations de Green sont définies comme suit : si et seulement si ; si et seulement si ; si et seulement si .

Dans un demi groupe régulier , toute -classe et toute -classe contient au moins un idempotent. Si est un élément de et est un inverse de , alors et , Lemma 1.13. De plus si et seulement s'il existe un inverse de et un inverse de tels que , Proposition 2.4.1.

Dans un demi-groupe inversif, l'idempotent de chaque -classe et -classe est unique.

Classes particulières de demi-groupes réguliers Howie, Chap. 6 et Section 2.4 mentionne les classes suivantes de demi-groupes réguliers : demi-groupe localement inversif : c'est un demi-groupe régulier dans lequel eSe est un demi-groupe inversif pour tout idempotent e. demi-groupe orthodoxe : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un sous-demi-groupe. demi-groupe inversif généralisé : c'est un demi-groupe régulier dont les idempotents forment un normal, c'est-à-dire vérifient xyzx = xzyx, pour tous idempotents x, y, z. On peut montrer que la classe des demi-groupes inversifs généralisés est l'intersection des demi-groupes localement inversifs et des demi-groupes orthodoxes.

Notes et références

Notes

Références

Article connexe

Regulier