Nombre

Un nombre est un concept mathématique permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments en indiquant leur rang. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont traitées d’abord dans le cadre de l’arithmétique des entiers, puis plus largement au sein des diverses branches de la théorie des nombres.

En l’absence d’une définition générale satisfaisante de cette notionLe Petit Robert de la langue française et le Trésor de la Langue Française Informatisé rapportent que « le nombre est une des notions fondamentales de l’entendement […] qu’on ne peut définir. » Le Petit Larousse illustré soutient que le nombre « ne peut faire l’objet d’une définition stricte »., divers types de nombres ont été introduits, des entiers naturels aux nombres réels, et encore au-delà avec d’autres objets comme les nombres complexesLes nombres complexes sont notamment mentionnés dans et (consulté le 1 octobre 2023), les nombres p-adiquesGouvêa, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics, Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics", p. 82. Princeton University Press, September 28, 2008. . "Today, it is no longer that easy to decide what counts as a 'number.' The objects from the original sequence of 'integer, rational, real, and complex' are certainly numbers, but so are the p-adics. The quaternions are rarely referred to as 'numbers,' on the other hand, though they can be used to coordinatize certain mathematical notions.", des infinitésimaux de l’analyse non standard ou des transfinis de la théorie des ensembles. Ces concepts permettant d’exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, encoder des informations, voire appréhender l’infini.

En physique, certains nombres apparaissent comme des grandeurs sans dimension, tels le nombre de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques.

En dehors de leur utilisation scientifique, certains nombres ont aussi acquis une charge symbolique forte dans différentes cultures. C'est par exemple le cas du nombre trois pour les chrétiens ou du nombre dix pour les pythagoriciens.

Conception Principe Le concept de nombre trouve son origine dans l’idée d’appariement, c’est-à-dire de la mise en correspondance d’ensembles (par exemple des êtres humains d’une part et des chevaux d’autre part). Si l’on tente de répartir tous les éléments en couples comprenant un élément de chaque ensemble, il se peut qu’il reste des éléments d’un ensemble en trop, ou qu’il en manque, ou encore qu’il y en ait juste assez. L’expérience montre alors que la manière de faire la répartition ne change pas le résultat, d’où la notion de quantité, caractère intrinsèque et qui peut être comparé.

Cette quantité n’est pas encore un nombre mais est parfois désignée comme un « nombre-de »Expression utilisée par Stella Baruk dans son Dictionnaire de mathématiques élémentaires.. Le nombre en tant que tel ne possède pas d’unité de mesure. Il est, d’après Euclide, « un assemblage composé d’unités », où « l’unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une »Éléments, livre VII. Euclide.

Parallèlement à la notion de quantité, liée à l’aspect « cardinal », la notion de repérage dans une liste mène à la définition du nombre « ordinal » : le premier nombreLe premier entier dit « naturel » est le nombre avant la reconnaissance du zéro mais encore après dans le langage courant et encore aujourd’hui dans les mathématiques anglo-saxonnes. est suivi d’un deuxième, lui-même suivi d’un autre et ainsi de suite « jusqu’à l’infini ».

Extension progressive

Sans calcul, les nombres sont limités à la quantité de symboles utilisables. La découverte des opérations numériques élémentaires (addition et multiplication notamment) va permettre aux mathématiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands à l’aide de divers systèmes de numération. La civilisation babylonienne découvre notamment la notation positionnelle dès le millénaire avant notre ère et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.

Les fractions sont conçues en Égypte antique sous forme de « quantièmes », c’est-à-dire d’inverses d’entiers. Leur manipulation est alors soumise à certaines contraintes qui ne seront surmontées que par l’interprétation géométrique comme rapport de longueurs (entières). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que pi, le nombre d'or ou la diagonale du carré ne seront vraiment considérées comme des nombres par les mathématiciens de la Grèce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.

Même si le chiffre « 0 » est employé dans certains systèmes de numération positionnelle par plusieurs civilisations antiquesOn le trouve notamment dans la numération grecque à partir du avant notre ère et la numération maya au cours du millénaire., le nombre zéro n’apparaît en tant que tel qu’au dans les mathématiques indiennes. Il est repris par la civilisation de l’Islam et importé en Europe au . Sous le qualificatif d’« absurdes », les nombres négatifs sont déjà étudiés au mais leurs propriétés arithmétiques font encore polémique au début du .

Les nombres algébriques réels positifs sont étudiés avec le développement de l’algèbre par les mathématiciens arabes. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en notation décimale dès le . Cette même algèbre conduira certains mathématiciens italiens à inventer au des nombres « imaginaires », première approche des nombres complexes qui ne seront définis de manière satisfaisante qu’au . Leur construction géométrique sera d’ailleurs rapidement suivie de celle des quaternions puis d’autres nombres hypercomplexes pendant le siècle suivant.

Paradoxalement, il faudra cependant attendre le pour que soit reconnue l’existence de nombres transcendants, juste avant que soit formalisée la notion de nombre réel indépendamment de la géométrie. La procédure de complétion des nombres rationnels sera imitée au début du pour construire les nombres p-adiques.

Les nombres transfinis sont introduits de diverses manières à partir de la fin du , lorsque Georg Cantor définit les ordinaux et cardinaux. Dans la seconde moitié du , l’analyse non standard fait usage de nombres hyperréels puis superréels, tandis que Conway présente les nombres surréels et pseudo-réels.

Pédagogie Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l’enfant en bas âge.

Dans l’éducation, l’apprentissage du nombre débute avec l’acquisition de la « chaîne numérique »nouveaux programmes de l’école primaire en France .Il s’agit de la suite des premiers nombres entiers, commençant généralement à 1, notamment à l’aide de comptinesLe mot « comptine » dérive lui-même tardivement du verbe « compter » selon le dictionnaire historique de la langue française. : « un, deux, trois, quatre… » Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l’enfant d’énumérer des objets qu’il manipule afin de les dénombrer (en associant à cette quantité le dernier terme de l’énumération), mais aussi pour repérer une position dans une série ordonnée.

Au cours de la scolarité, l’univers des nombres s’étend progressivement avec la manipulation des fractions, la notation décimale fractionnaire associée à la conversion des unités puis les nombres négatifs. Le développement décimal infini est introduit avant la séquence croissante des ensembles de nombres usuels : l’ensemble N (ou ) des entiers naturels ; l’ensemble Z (ou ) des entiers relatifs, qui sont munis d’un signe positif () ou négatif () ; l’ensemble D (ou ) des nombres décimaux, qui admettent une partie entière et une partie décimale de longueur finie, en général notées de part et d'autre d'une virguleDans plusieurs autres pays, la virgule est remplacée par un point. ; l’ensemble Q (ou ) des nombres rationnels, qui sont représentés par des fractions avec un numérateur et un dénominateur entiers (ou décimaux) ; l’ensemble R (ou ) des nombres réels, qui repèrent tous les points d’un axe orienté continu ; l’ensemble C (ou ) des nombres complexes, qui peuvent décrire tous les points d’un plan.

Numération

Origine L’idée de quantité et sa codification visuelle sont vraisemblablement antérieures à l’apparition de l’écritureL’os d’Ishango est ainsi interprété comme un artefact antérieur à l’apparition de l’écriture et représentant des valeurs numériques.. Plusieurs procédés de comptage sont progressivement développés pour décrire la taille d’un troupeau et contrôler son évolution, suivre un calendrier ou mesurer des récoltesGeorges Ifrah, introduction à l’Histoire universelle des chiffres..

Au millénaire avant notre ère, les civilisations mésopotamiennes utilisent ainsi des boules creuses d’argile contenant des jetons, puis des tablettes d’argile munies de marques. Un système de notation (dit « système S ») est employé pour la désignation des quantités discrètes, tandis que les surfaces et autres grandeurs sont représentées chacune selon un système de notation propreCatherine Goldstein, « La naissance du nombre en Mésopotamie », Histoire des nombres, éditions Tallandier, 2007.. Il faut attendre la fusion de ces systèmes, à la fin du millénaire avant notre ère, pour voir se former véritablement le concept du nombre abstrait, indépendant de ses réalisations concrètesChristian Houzel, « Qu’est-ce qu’un nombre ? », Histoire des nombres, éditions Tallandier, 2007..

Du signe au chiffre

Dans les systèmes de numération additifs, certains symboles (variables selon les cultures) représentent des quantités précises et sont juxtaposés pour désigner tous les nombres utilesLe système de numération de l’Égypte antique s’arrête ainsi au symbole du million, assimilé à l’infini..

Les systèmes alphabétiques associent la liste des lettres de l’alphabet (employant en renfort des lettres inusitées, désuètes ou inventéesVoir par exemple la numération grecque.) aux neuf unités, neuf dizaines et neuf centaines pour écrire chaque nombre entre 1 et 999 en trois caractères maximum. Pour écrire des valeurs supérieures, un nouveau groupe de trois lettres maximum désignant les milliers est placé à gauche, séparé par une apostrophe.

Ainsi, pour écrire lisiblement un nombre en chiffres, il est d'usage de séparer chaque groupe de 3 chiffres par un espace. Le premier groupe pouvant être composé de 1 à 3 chiffres.

Ce système est proche de l’écriture positionnelle chiffrée, dans laquelle chaque position ne contient (au plusLe zéro de position est inventé d’abord pour indiquer l’absence de chiffre sur une position.) qu’un seul chiffre.

Les chiffres de la numération décimale correspondent aux dix premiers nombres entiers : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit et neuf.

Arithmétique

Opérations Dès lors que les quantités sont représentées par des symboles, la manipulation des quantités doit être traduite par des opérations sur les nombres. Ainsi, la réunion de deux quantités définit l’opération d’addition et la répétition d’une certaine quantité donne lieu à la multiplication. Ces deux opérations directes admettent des opérations réciproques : la soustraction et la division, qui permettent de retrouver l’un des opérandes à partir du résultat et de l’autre opérande.

Chacune de ces opérations est réalisée selon diverses techniques de calcul. Mais contrairement aux opérations directes qui sont définies sans restriction, les opérations réciproques n’aboutissent que sous certaines conditions. Ainsi, avant l’utilisation des nombres négatifs, un nombre ne peut être soustrait qu’à un nombre plus grandMême en admettant l’usage des nombres négatifs, pour soustraire un nombre positif à un nombre positif plus petit, on effectue la soustraction contraire et on change le signe du résultat..