En mathématiques, le théorème de Birch, démontré par Bryan Birch, est un énoncé sur la représentabilité de 0 par des polynômes homogènes de degrés impairs.
Énoncé Soient K un corps de nombres, l un entier naturel et r, … ,r des entiers naturels impairs. Il existe un nombre ψ(r, … ,r, l, K) tel que pour tous polynômes homogènes en n variables f, … , f à coefficients dans K, de degrés respectifs r, … ,r, si n ≥ ψ(r, … ,r, l, K), alors il existe un sous-espace vectoriel de dimension l de K sur lequel f, … , f s'annulent tous.
Remarques La démonstration se fait par récurrence sur max(r, … ,r).
Une étape essentielle est de prouver, en appliquant la méthode du cercle de Hardy-Littlewood, que si r est impair alors, pour n assez grand et pour tous entiers relatifs c, … , c, l'équation possède une solution entière non triviale, c'est-à-dire constituée d'entiers relatifs x, … , x non tous nuls.
La condition « r impair » est indispensable puisqu'une forme de degré pair peut ne s'annuler qu'en 0 : par exemple une forme quadratique définie positive.
Notes et références
Article connexe Principe de Hasse
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