thumb|Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes, trois pommes…).
En mathématiques, un entier naturel, un nombre naturel. ou parfois simplement un naturel est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en toute notation positionnelle de base entière (sans signe et sans virgule), et notamment en notation décimale positionnelle.
L’étude des entiers naturels est l’objet de l’arithmétique, branche des mathématiques dont l'origine remonte à l'Antiquité grecque. Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinieGeorg Cantor est le premier mathématicien à avoir étudié les différents infinis, il s'est appuyé sur l'ensemble ordonné des entiers naturels pour définir une première base d'infini et ensuite mieux découvrir les autres ensembles infinis..
Les définitions modernes d’entier naturel sont fondées sur : l’axiomatisation de l’arithmétique réalisée par Peano et Dedekind à la fin du ; la construction d’ensembles vérifiant les axiomes de l’arithmétique : Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à von Neumann).
Les entiers naturels forment un ensemble, communément désigné par le sigle . Ils s'identifient aux entiers relatifs positifs (ou nuls), ainsi qu'aux nombres rationnels positifs (ou nuls) pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1, et d'une manière plus générale aux réels positifs (ou nuls) de partie fractionnaire nulle.
Deux définitions différentes
La définition originelle de l'ensemble des entiers naturels, due à Richard Dedekind Richard Dedekind, Was sind und sollen die Zahlen?, 1888, éd. Friedrich Vieweg et fils 1893 (lire en ligne)., ne comprend pas le nombre zéroSous l'entrée « nombre », le Lexis (1975) définit un « nombre naturel » comme , et le Petit Robert (1977) donne ; l'Académie française, dans la neuvième édition de son dictionnaire, sous l'entrée « entier », définit un « nombre entier naturel » comme un et, sous l'entrée « positif », précise qu'un « nombre positif » est .. Plus récemment, une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui.. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11… ou 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11…
Quelle que soit la définition choisie, (entiers commençant à zéro ou commençant à un), l'ensemble des entiers naturels est conventionnellement noté « » ou « », avec tous les risques induits de mésinterprétation. La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers commençant à un.
Ainsi, dans les ouvrages qui incluent 0 dans les entiers naturels, on trouve les notations et
Tandis que, dans les ouvrages qui font commencer les entiers naturels à 1, on trouve la notation et l'ensemble est alors noté (whole numbers) ou (entiers relatifs positifs ou nuls) ou .
On trouve aussi des notations moins ambiguës exposées dans la section Notations.
Historique : de l'énumération à l'abstraction La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au Christian Houzel, « Qu'est-ce qu'un nombre ? », Histoire des nombres, Tallandier 2007.) toute l'idéeDes nombres non entiers sont manipulés dès le avant notre ère dans la civilisation mésopotamienne, mais ils n'ont pas le statut théorique de nombre. de nombre, est probablement issue de la notion de collection : le nombre entier est avant tout conçu comme un cardinal. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.
Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.
Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de ce qu'il représente, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vaches : il y a là une première abstraction où chaque objet est considéré comme une unité pure et sans qualité. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Une seconde abstraction mène alors à la considération de ces unités comme une collection d'unitésLa construction philosophique du concept de nombre est exposée en détail dans De l'infini mathématique de Louis Couturat..
Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme « collection d'unitésCette définition peut rétrospectivement être appliquée au nombre zéro, une collection ne comprenant aucune unité. ».
+ Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des collections de points.01234567891016px|center|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|**16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
Désignation Énonciation La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle se fonde en général sur quelques méthodes simples.
Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit des entiers de un à dix (les noms des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de noms composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà de deuxGeorges Ifrah, introduction à Histoire universelle des chiffres, tome 1, édition Robert Laffont (1994), , § « Les premiers tâtonnements »..
L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (comme dans dix-sept) ou de la multiplication (comme dans quatre-vingts) des entiers correspondants. D'autres procédés existent utilisant la soustraction, la division ou la protraction.
Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certaines puissances d'une base particulière. La base dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en français par exemple conserve la trace d'un usage partiel de la base vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des désignations standardisées pour les cent premières puissances de mille ou du million.
Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut que proposer des désignations par accolement : « mille milliards de milliards… »
Écriture chiffrée L'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations. Dans tous les cas, elle utilise un nombre limité de chiffres, symbolisant chacun un entier naturel, et des règles de composition permettant de créer, à partir de ces chiffres, les symboles écrits représentant d'autres entiers.
Le système aujourd'hui le plus répandu est celui de la notation décimale positionnelle : il utilise dix chiffres, dits "arabes" et notés (0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9)La graphie des chiffres peut subir des variations plus ou moins importantes d'un pays à l'autre., et, comme chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances de dix de façon que chaque coefficient multiplicateur soit strictement inférieur à dix, l'écriture de tout nombre entier supérieur à 9 se fait en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de 10 correspondantes.
Ainsi, par exemple, on écrit : .
Codage La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux ou d'autres symboles concretsLe mot « calcul » est apparenté au mot « caillou »., d'abord pour symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles (un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).
La notation positionnelle a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur position et non plus leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du boulier. Ce principe est toujours en vigueur dans les calculatrices et ordinateurs.
Arithmétique élémentaire
Un peu d'histoire Dès l'Antiquité, les entiers naturels et leurs propriétés sont étudiés par des mathématiciens : les travaux de l'école pythagoricienne et ceux d'Euclide ont définissent ainsi les bases de l'arithmétique élémentaire, encore enseignée aujourd'hui dans le primaire et une grande partie du secondaire.
L'arithmétique élémentaire considère que le concept d'entier et ceux d'addition comme de multiplication sont admis. Plusieurs de leurs propriétés sont également admises, comme celles illustrées par les exemples ci-dessous :
on peut ranger les entiers par ordre croissant (en langage mathématique moderne : l'ensemble des entiers est bien ordonné) et (en langage mathématique moderne : l'addition est commutative, ainsi que la multiplication) (en langage mathématique moderne : l'addition est associative) (en langage mathématique moderne : la multiplication est distributive par rapport à l'addition)
De l'addition est déduite la soustraction, et de la multiplication la division euclidienne. vignette|Animation illustrant le plus petit des triplets pythagoriciens (3, 4, 5). Les raisonnements des mathématiciens antiques, souvent appuyés sur la géométrie, et ceux de leurs successeurs, permettent d'énoncer un très grand nombre de propriétés des nombres entiers, dont certaines sont indiquées ci-dessous :
infinité d'entiers : il existe un nombre infini d'entiers ; nombres premiers : il existe une infinité d'entiers, appelés nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes ; décomposition en facteurs premiers : tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique, qui permet aussi de définir le pgcd et le ppcm de deux entiers ; triplets pythagoriciens : il existe une infinité de triplets d'entiers non nuls () premiers entre eux qui vérifient la relation de Pythagore : .
Représentation des opérations En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par exemple), l'opération d'addition correspond à réunir deux collections, tandis que la soustraction revient à retirer une collection d'une autre, ce qui montre l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturelsLa soustraction est toujours possible dans les entiers relatifs.) un nombre à un autre strictement plus petit.