vignette|droite|Le moine français Marin Mersenne (1588-1648) En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme (souvent. noté ), où est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Marin Mersenne ; mais, près de auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits. Avant Mersenne, et même un certain temps après lui, la recherche des nombres de Mersenne premiers était intrinsèquement liée à celle des nombres parfaits.
Si le nombre de Mersenne est premier, alors est premier. Par exemple, les nombres de Mersenne sont premiers, et leurs exposants le sont bien aussi. Cette condition que soit premier est nécessaire pour que le nombre de Mersenne soit premier. Par exemple, ne sont pas premiers, et les nombres de Mersenne ne le sont effectivement pas. Mais cette condition n'est pas suffisante. Par exemple, est premier, mais le nombre de Mersenne ne l'est pas.
Il existe un test de primalité efficace pour les nombres de Mersenne, le test de primalité de Lucas-Lehmer ; de ce fait, les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne. Les nombres de Mersenne premiers sont pourtant rares : seulement 52 sont connus en octobre 2024.. On ne sait même pas s'il en existe une infinité.
La recherche de grands nombres de Mersenne premiers fait l'objet d'un projet de calcul collaboratif, le projet GIMPS.
Nombres de Mersenne et nombres parfaits Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres « égaux à la somme de leurs diviseurs stricts ». Historiquement, c'est cette connexion qui a motivé l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le , Euclide démontrait que si est un nombre premier, alors est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au , Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme. Par ailleurs, aucun nombre parfait impair n'est connu.
Propriétés des nombres de Mersenne Propriété fondamentale des nombres de Mersenne Soit ; si n'est pas premier, alors le -ième nombre de Mersenne n'est pas premier. En effet : Si , alors . Si est composé, alors est composé. En effet : et , donc , et donc ; . Les deux plus petits exemples avec indices composés sont : sont composés, et sont bien composés.
Plus précisément : divise , et divise bien .
Autrement dit (contraposée) :Soit ; si le -ième nombre de Mersenne est premier, alors est premierDe façon générale :Soient et ; si est premier, alors et est premier. En effet : Si , alors ; or divise : absurde. Donc . Si , alors divise : absurde. Donc est premier...
Les huit plus petits exemples sont : () sont premiers, et () sont bien premiers.
La réciproque est fausse. En effet :Soit ; même si est premier, le -ième nombre de Mersenne peut ne pas être premier.
Les trois plus petits contre-exemples sont :, , () sont premiers, mais () sont composés.
Conséquences :Pour trouver des nombres de Mersenne premiers, on sait déjà qu'il faut se limiter à des avec premier, mais que ce n'est pas suffisant. Il faut ensuite affûter les critères de sélection des nombres premiers .
Autres propriétés des nombres de Mersenne Ils constituent la suite des répunits en base 2. Conséquence :Pour tous entiers et .En particulier, si divise , alors divise . Donc, si n'est pas premier, alors n'est pas premier.
Exemple :. Tous les nombres de Mersenne , premiers ou composés, sont des nombres brésiliens. En effet : avec fois la présence du chiffre dans l'écriture en base .Le nombre est d'ailleurs le plus petit nombre brésilien. D'après le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne, pour un nombre premier impair, est premier si et seulement si divise , où et pour tout .
Les six plus petits termes de cette suite de Lucas-Lehmer sont : (voir la ).
( ne divise pas mais est pair, et est bien premier.) divise divise divise , et sont bien premiers. ne divise pas ne divise pas , et sont bien composés. Si divise avec premier impair, alors : Un théorème d'Euler entraîne que pour premier , est premier si et seulement s'il existe un unique couple d'entiers tel que .
Exemples :Pour est premier ; ni ni ne peut diminuer, donc ni ni ne peut augmenter ; donc il existe un unique couple d'entiers tel que (à savoir ) ; et est bien premier.Pour est premier est impair et est pair, donc doit être impair ; ne sont pas des carrés, et ; donc il n'existe aucun couple d'entiers tel que ; et n'est effectivement pas premier.
(Bas Jansen B. Jansen, On Mersenne primes of the form x + d·y (2002), thèse. a étudié pour compris entre et .) Si est premier, alors : est aussi premier si et seulement si divise ..
Exemples : est premier, ne divise pas , et n'est effectivement pas aussi premier. est premier, divise , et est effectivement aussi premier. Ramanujan a conjecturé (en 1913) que l'équation , appelée équation de Ramanujan-Nagell, n'a que cinq solutions : ; ce fut démontré par Trygve Nagell en 1948. La constante d'Erdős-Borwein , définie comme la somme de la série des inverses des nombres de Mersenne (premiers ou non), est irrationnelle..
Historique Historique des outils théoriques Marin Mersenne, moine de l'ordre des Minimes au début du , est l'auteur de la proposition : si est premier, alors aussi ; Voir cependant , vol. 1, , note 59..
En 1732, Euler rappelle que la réciproque est fausse : peut être composé alors que est premier. Il donne le plus petit contre-exemple : 11 est premier mais ne l'est pasE26, informations sur la publication.; il mentionne que c'est aussi le cas pour , et .
En 1878, Édouard Lucas développe une méthode pour tester si un nombre de Mersenne (avec premier) est premier. Dans les années 1930, Derrick Lehmer l'améliore. Le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne est exceptionnellement simple comparativement à la taille des nombres considérés. Grâce à ce test très rapide, depuis longtemps les plus grands nombres premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne.
Historique des nombres de Mersenne premiers découverts Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne sont connus dès l'Antiquité. Au , Ibn Fallus donne une liste de nombres parfaits dans un commentaire de l'introduction à l'arithmétique de Nicomaque. On y trouve ceux correspondant aux cinquième, sixième, et septième nombres de Mersenne. Mais il ne fournit aucun calcul et sa liste comporte des erreurs, qui peuvent laisser penser qu'il s'est appuyé sur des hypothèses fausses ou insuffisantes, et n'a pas vérifié la primalité de ces nombres de Mersenne, p. 349-350.. On trouve le cinquième () dans un manuscrit anonyme daté de 1456 ou 1461. Les deux suivants ( et ) sont donnés par Pietro Cataldi en 1588. Au début du , Marin Mersenne fournit une liste des nombres premiers « de Mersenne » jusqu’à l'exposant 257, qui se révélera fausse : elle inclut par erreur 67 et 257, et omet 61, 89, et 107.. + Table des prévisions de Mersenne sur pour premier P : est premier— : n'est pas premierCyan : Mersenne l'avait prévuRose : il avait prévu le contraire 2 3 5 7 11 13 17 19 P P P P — P P P 23 29 31 37 41 43 47 53 — — P — — — — — 59 61 67 71 73 79 83 89 — P — — — — — P 97 101 103 107 109 113 127 131 — — — P — — P — 137 139 149 151 157 163 167 173 — — — — — — — — 179 181 191 193 197 199 211 223 — — — — — — — — 227 229 233 239 241 251 257 263 — — — — — — — — En 1772, Euler vérifie que est premier. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique), , est trouvé par Lucas en 1876 ; puis est démontré premier par Ivan Pervouchine en 1883. Encore deux autres sont trouvés au début du par Ralph Ernest Powers en 1911 et en 1914.
La recherche des nombres premiers de Mersenne est révolutionnée par l'utilisation des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen a lieu à 22 heures le par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l'université de Californie à Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par Raphael Robinson.
C'est le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis ans. Le suivant est découvert moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouve trois de plus dans les mois suivants.
En décembre 2018, nombres premiers de Mersenne sont connus, le plus grand étant , qui est aussi à la même date le plus grand nombre premier connu.. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il est découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »).
Liste des nombres de Mersenne premiers connus On ne sait pas si l'ensemble des nombres de Mersenne premiers est fini ou infini (mais on conjecture qu’il est infini). En août 2025, nombres de Mersenne premiers étaient connus (suite pour , et suite pour ).
Historiquement, ils ne furent pas toujours découverts par ordre croissant. Par exemple : en 1983 fut trouvé le , ; en 1988 fut trouvé le , .