En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution gamma ou loi gamma est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions gamma inclut, entre autres, la loi du χ² et les distributions exponentielles et la distribution d'Erlang. Une distribution gamma est caractérisée par deux paramètres et et qui affectent respectivement la forme et l'échelle de la représentation graphique de sa fonction de densité.
Les distributions gamma sont utilisées pour modéliser une grande variété de phénomènes, et tout particulièrement les phénomènes se déroulant au cours du temps où par essence, le temps écoulé est une grandeur réelle positive ; c'est le cas par exemple dans l'analyse de survie.
Définition
Paramétrage avec la forme k et l'échelle Soient et deux réels strictement positifs. Une variable aléatoire suit une loi gamma de paramètres et , ce que l'on note aussi (où est la majuscule de la lettre grecque gamma) si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :
pour tout . Dans l'expression ci-dessus, désigne la fonction Gamma d'Euler. Le paramètre k s'appelle le paramètre de forme, et le paramètre est un paramètre d'échelle.
Paramétrage avec la forme et l'intensité Alternativement, la distribution gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme et d'un paramètre d'intensité () :
Les deux paramétrages sont répandus, selon le contexte. On note la même notation et pour la loi pour les deux paramétrages. La notation est ambigüe, mais elle dépend du paramétrage choisi.
Propriétés Moyenne et variance La moyenne (espérance) d'une distribution gamma est le produit des paramètres de forme et d'échelle :
La variance est donnée par :
L'inverse de la racine carré du paramètre de forme donne le coefficient de variation :
.
Coefficient d'asymétrie Le coefficient d'asymétrie d'une distribution gamma ne dépend que du paramètre de forme et vaut
Moments Pour tout n entier, le n-ième moment vaut : .
Somme
Si chaque suit la loi pour i = 1, 2,..., N, et si les variables aléatoires sont indépendantes, alors :
Changement d'échelle Soit une variable aléatoire qui suit une loi gamma de paramètres de forme k et d'échelle θ. Alors pour tout , la variable est distribuée selon une loi de paramètre de forme k et d'échelle tθ. Dit autrement pour le paramétrage (α, β), si suit une loi gamma de paramètres de forme α et d'intensité β, alors est distribuée selon une loi de paramètre de forme et d'intensité β/t, que l'on note également .
Lien avec les autres distributions
Contraintes sur les paramètres Si , alors a une distribution exponentielle de paramètre . En effet, pour , l'expression de la densité devient . Il s'agit bien de la densité de probabilité de la distribution exponentielle de paramètre . Si , alors est identique à une variable qui suit , la loi du χ² avec degrés de liberté. Si est un entier, la loi gamma est une distribution d'Erlang. Si , alors a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre .
Autres manipulations Si a une distribution , alors a une distribution loi gamma inverse, de paramètres et . Si et Y sont distribuées indépendamment selon des lois et respectivement, alors a une distribution beta de paramètres et . Si sont distribuées selon des lois respectivement, alors le vecteur , où , suit une distribution de Dirichlet de paramètres . Pour grand, la distribution gamma converge vers une loi normale, de moyenne et de variance . De plus, quels que soient et , en fixant de cette manière les constantes et , les densités de probabilité de la distribution gamma et de la loi normale ont alors deux points d'inflexion aux mêmes abscisses, à savoir et .
Propriété de concentration Si , alors pour tout , et .
Généralisation Une loi gamma généralisée a été définie avec un troisième paramètre:
afin de réunir dans une même famille la loi gamma, la loi de Weibull et la loi exponentielle.
Références
gamma