La conjecture de Bouniakovsky (ou de Bunyakovsky ou Bouniakowsky), formulée en 1854 par le mathématicien russe Viktor Bouniakovski (lu le 4 août 1854), n'est toujours pas démontrée ou infirmée. Elle prévoit que si P(x) est un polynôme irréductible à coefficients entiers non constant et si d est son « diviseur invariable », c'est-à-dire le PGCD des P(n) quand n parcourt les entiers, alors il existe une infinité d'entiers naturels n pour lesquels l'entier |P(n)|/d est premierDe nombreux auteurs mentionnent à l'appui un autre article de Bouniakowsky, « Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers… », qui date de 1840 et non de 1857 et ne concerne aucunement cette question. Cf. par exemple ou . Certains, comme ce dernier, donnent même un énoncé non conforme car limité au cas d = 1..
Par exemple,
Cette conjecture , qui correspond au cas où le polynôme est de degré 1.
Pour le polynôme x + 1 (cf. « Problèmes de Landau »), on pourrait répondre par l'affirmative si l'on savait démontrer une conjecture de Hardy et Littlewood sur la densité des valeurs premières d'un polynôme de degré 2.
On ne sait même pas si tout polynôme irréductible non constant dont le « diviseur invariable » vaut 1 prend ne serait-ce qu'une valeur première.
Notes et références
Articles connexes Polynôme à valeurs entières Critère d'irréductibilité de Cohn Spirale d'Ulam
Bouniakovski Catégorie:Nombre premier Catégorie:Polynôme