L'inégalité de Hardy-Littlewood est un théorème d'analyse à plusieurs variables d'après lequel, si et sont des fonctions Lebesgue-mesurables de ℝ dans et si et sont leurs réarrangements symétriques décroissants, alors
où désigne la mesure de Lebesgue sur ℝ.
Démonstration Dans le cas particulier où et sont des fonctions indicatrices, compte tenu de la propriété , l'inégalité à démontrer se réécrit
et vient du fait que si, par exemple , alors donc
Pour en déduire le cas général, on utilise que pour toute fonction positive et tout réel , si l'on note l'ensemble de sur-niveau associé, c'est-à-dire
on a :
Grâce au théorème de Fubini, on obtient ainsi :
Notes et références
Articles connexes Inégalité de réarrangement Inégalité de Tchebychev pour les sommes
Hardy-Littlewood Catégorie:Analyse à plusieurs variables