En informatique théorique, co-NP (ou coNP) est une classe de complexité, c'est-à-dire un ensemble de problèmes de décision au sens de la théorie de la complexité. C'est la classe complémentaire (au sens de la complexité) de la classe NP.
Définitions On donne deux définitions équivalentes.
À partir de NP co-NP est l'ensemble des langages qui ont pour complémentaire (au sens des langages) un langage de NP. Mathématiquement cela s'écrit .
Une autre façon de voir est que co-NP est l'ensemble des langages pour lesquels une preuve vérifiable en temps polynomial peut prouver la non-appartenance du mot au langage (des contre-exemples).
Par certificat
On peut définir la classe co-NP en utilisant des certificats Proposition 2-BA, .. Sur un alphabet , un langage est dans co-NP, s'il existe un polynôme et une machine de Turing en temps polynomial , tels que pour un mot , on a équivalence suivante :
, la machine accepte l'entrée .
Problèmes co-NP-difficiles et co-NP complet Comme pour la classe NP, on définit la notion de problème co-NP-difficile. Un problème est co-NP-difficile si tout problème co-NP s'y réduit en temps polynomial. Un problème est co-NP-complet s'il est dans co-NP et il est co-NP-difficile.
Tout problème co-NP-complet est le complémentaire d'un problème NP-complet.
Exemples De tout problème dans NP, on peut construire un problème « dual » dans co-NP. Problème dans NPProblème complémentaire dans coNPle problème SAT : étant donné une formule booléenne, une assignation de ses variables qui la rend vraie ?étant donné une formule booléenne, est-elle fausse assignation de ses variables. ? (même si on considère plutôt le problème de la validité qui est inter-réductible au problème précédent : étant donné une formule booléenne, est-elle vraie les assignations de ses variables ?)le problème du chemin hamiltonien : étant donné un graphe G, un chemin hamiltonien ?le problème de la non-existence d'un chemin hamiltonien : étant donné un graphe G de n nœuds et m arcs, est-il vrai qu'aucune combinaison de n arcs parmi m ne constitue un chemin hamiltonien?le problème de la clique : étant donné un graphe G et un entier k, de taille k dans G ?le problème de la non-clique : étant donné un graphe G et un entier k, est-il vrai que G de taille k ?
Liens avec les autres classes La question co-NP = NP est une question ouverte mais il est conjecturé que ces classes sont différentes « »..
Si P = NP, et comme P = co-P alors NP = P= co-NP mais la réciproque n'est pas connue.
On sait que , mais l'égalité est une question ouverte. Le problème du test de primalité est connu pour être dans NP et co-NP, mais on pensait généralement qu'il n'était pas dans P ; jusqu'à ce qu'en 2002 on démontre qu'il est dans P (Théorème AKS).
Dans la hiérarchie polynomiale, co-NP correspond au premier étage universel : co-NP = .
Bibliographie
Liens externes Maths Adulte La Rochelle université : Le résultat qui sème le doute
Notes et références
Catégorie:Classe de complexité