En mathématiques, le recollement est la construction d'un espace topologique obtenu en « attachant un espace à un autre le long d'une application ». Plus précisément, .., on attache un espace Y à un espace X, le long d'une application f à valeurs dans X, continue sur un sous-espace A de Y, en définissant l'espace X ∪ Y comme le quotient de la somme topologique X⊔Y par la relation d'équivalence qui identifie chaque élément de A à son image par f. C'est un cas particulier de somme amalgamée.
Propriétés L'ensemble quotient (sans sa topologie) est canoniquement en bijection avec la réunion disjointe X⊔(Y\A).
Si A est fermé dans Y, le plongement X → X ∪ Y est une application fermée et le plongement(Y\A) → X ∪ Y est une application ouverte.
Si A est ouvert (resp. fermé) et f est ouverte (resp. fermée), l'application X⊔Y → X ∪ Y de passage au quotient est ouverte (resp. fermée)..
Exemples Le recollement de « cellules » est l'opération de base dans la définition inductive des CW-complexes. L'espace Y est dans ce cas une n-boule fermée et le sous-espace A est son bord, la sphère. Le recollement est aussi utilisé pour définir des sommes connexes de variétés. Ici, on retire d'abord à chacune des deux variétés une boule ouverte, avant d'attacher entre eux les bords sphériques de ces deux boules. Le wedge de deux espaces pointés est le recollement des deux espaces le long de l'application qui envoie le point base de l'un sur celui de l'autre. Le quotient Y/A correspond au cas particulier de recollement dans lequel X est réduit à un point. La « droite réelle avec un point double » est le recollement de deux copies de ℝ le long de l'ouvert ℝ*.
Description catégorique Le recollement est un exemple de somme amalgamée dans la catégorie des espaces topologiques. En effet, X ∪ Y est la solution du problème universel correspondant au diagramme commutatif suivant, où i est l'injection canonique :
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Cône (topologie) Cône d'une application Joint (mathématiques) Suspension (mathématiques) Bibliographie
Catégorie:Topologie générale