En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction à valeurs strictement positives est dite logarithmiquement convexe si sa composée par le logarithme népérien est convexe.
Définition formelle Soient un intervalle réel et . On dit que est logarithmiquement convexe si, pour tous points de et tout , on a l'inégalité suivante : , soit encore, en prenant l'exponentielle : .
De façon équivalente, est logarithmiquement convexe si pour tout intervalle non trivial , les réels déterminés par vérifient : .
Exemples Pour tout , l'exponentielle de base est logarithmiquement convexe. Toute fonction génératrice des moments est logarithmiquement convexe. Pour toute mesure (sur un espace mesurable) et toute fonction avec , l'application est logarithmiquement convexe sur . La fonction gamma est logarithmiquement convexe sur Pour une généralisation, voir , 1.9.. Une caractérisation de la fonction gamma par la log-convexité est donnée par le théorème de Bohr-Mollerup. La fonction zêta de Riemann est logarithmiquement convexe sur .
Une caractérisation
Propriétés Toute fonction logarithmiquement convexe est convexe.C'est un corollaire de la caractérisation ci-dessusPour une démonstration plus directe, cf. .La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple de la fonction . La somme et le produit de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.Ces deux propriétés se déduisent du fait que la somme de deux fonctions convexes est convexe, en utilisant l'équation fonctionnelle du logarithme pour la stabilité par produit, et la caractérisation ci-dessus pour la stabilité par sommePour une autre démonstration de la stabilité par somme, voir , 1.8..
Généralisation aux fonctions d'une variable vectorielle Soient un espace vectoriel réel et un convexe de .
Une application est dite logarithmiquement convexe si est convexe sur .
Les deux propriétés ci-dessus s'étendent immédiatement à ce cadre, puisqu'une fonction est convexe sur si et seulement si sa à tout segment est une fonction convexe de la variable réelle .
De même, on déduit facilement de la caractérisation ci-dessus qu'une application est logarithmiquement convexe sur si et seulement si, pour toute forme linéaire sur , l'application est convexeDémontré sous des hypothèses supplémentaires dans , exercice I.15..
Notes et références
Voir aussi Bibliographie (traduction par Michael Butler de , 1931)
Articles connexes
Théorème des trois cercles de Hadamard
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